Wierzchołki, krawędzie, ściany i dalej

Zajmijmy się następującym prostym problemem. Niech $P$ będzie wielościanem wypukłym o trójkątnych ścianach. Oznaczmy przez $V;E; F$ odpowiednio liczbę jego wierzchołków, krawędzi i ścian. Jakie trójki $(V; E;F )$ liczb naturalnych możemy w ten sposób uzyskać? Bez trudu możemy wypisać dwie równości:

V − E + F = 2; 3F = 2E:

Pierwsza z nich to słynny wzór Eulera, druga zaś bierze się z wyliczenia na dwa sposoby liczby par (Krawędź, Ściana), gdzie Krawędź należy do Ściany. Stąd szybko dostajemy, że $|(V,E, F) = (V ,3V −6,2V −4).$ Ponadto $|V ⩾ 4$ (w przeciwnym razie "wielościan" byłby figurą płaską). Okazuje się, że te dwa ograniczenia są już wystarczające, aby wektor $|(V ,E, F)$ pochodził od pewnego wielościanu z trójkątnymi ścianami. Wnikliwego Czytelnika zachęcamy do skonstruowania odpowiednich przykładów.

To oczywiście nie koniec zabawy. Załóżmy, że zamiast wielościanu rozpatrujemy jego wyżej wymiarowy odpowiednik (wielotop) $|P,$ którego ściany są sympleksami (czyli wyżej wymiarowymi odpowiednikami trójkątów, takimi jak trójwymiarowy czworościan) - innymi słowy, wielotop $| P$ jest symplicjalny. Dla $| k = 0,1,2,...,d − 1$ oznaczmy przez $| fk$ liczbę $|k$ -wymiarowych ścian wielotopu $|P$ - a więc $f0$ to liczba wierzchołków, $| f1$ to liczba krawędzi i tak dalej. Otrzymujemy wtedy f-wektor wielotopu $|P,$ czyli $| f = ( f0, f1,..., fd−1). --$ Chcielibyśmy dowiedzieć się, które wektory (o współrzędnych naturalnych) możemy uzyskać jako f-wektory wielotopów symplicjalnych.

Powyżej uzyskane dla $| d = 3$ warunki możemy bez trudu uogólnić. Dla przykładu, jeśli wielotop jest czterowymiarowy, wzór Eulera przyjmuje postać $f0− f1 + f2− f3 = 0.$ Z kolei zamiast powyższej równości $|3F = 2E,$ w analogiczny sposób dostajemy równość $4f 3 = 2 f2,$ a więc $| f2 = 2 f3.$ Stąd

f = ( f0, f1,2f 1 −2 f0, f1− f0).

Ponadto, podobnie jak poprzednio, mamy ograniczenie $| f0⩾ 5.$ Ale skoro $| f3 = f1− f0 ⩾ 0,$ to również $f1⩾ f0.$ Okazuje się jednak, że zachodzi dużo silniejsza nierówność, mianowicie $f1⩾ 4 f0− 10.$ Te warunki wystarczają już, aby dany wektor liczb naturalnych był f-wektorem pewnego czterowymiarowego wielotopu symplicjalnego.

Widać jednak, że wraz ze wzrostem liczby wymiarów konieczne warunki stają się coraz bardziej skomplikowane. Czy możemy liczyć na jakiś opis możliwych f-wektorów w ogólnym przypadku?

Spójrzmy, jak wcześniejsze warunki uogólniają się na dowolną liczbę wymiarów. Wzór Eulera w wyższych wymiarach mówi, że

f0− f1 + f2 −⋅⋅⋅+ (−1)d−1 fd−1 = 1+ (−1)d−1.

Mamy również analogiczne zależności $d fd−1 = 2 fd−2$ oraz $| f ⩾ d + 1. 0$ Ponadto, jeśli $d ⩾ 3,$ to w każdym $d$ -wymiarowym wielotopie zachodzi nierówność $d -d+1- | f1⩾ d f0− 2$ (dla $d = 3$ zachodzi nawet równość, co pokazaliśmy w drugim akapicie). Ta nietrywialna nierówność, znana wcześniej jako hipoteza o dolnym ograniczeniu, została udowodniona w 1970 roku przez Davida Barnette. Ale okazuje się, że w ogólności warunków (zarówno nierówności, jak i równości) jest więcej.

Dla dowolnego $d$ -wymiarowego wielotopu zdefiniujmy h-wektor jako $|(h0,h1,...,hd),$ gdzie

d − i + 1 d− i + 2 d hi = fi− 1− ( ) fi− 2 +( ) fi−3− ⋅⋅⋅+ (− 1)i( ) f−1. d −i d − i d − i

Przyjmujemy tutaj konwencję, zgodnie z którą $f−1 = 1.$ Dla przykładu, jeśli mamy do czynienia z ośmiościanem foremnym, to $|( f , f , f, f ) = (1,6,12,8) −1 0 1 2$ i dostajemy

h0 = f−1 = 1 h2 = f1− 2 f0 + 3 f−1 = 3 h = f − 3 f = 3 h = f − f + f − f = 1, 1 0 −1 3 2 1 0 −1

a więc h-wektor to $|(1,3,3,1).$

Okazuje się, że dla dowolnego symplicjalnego wielotopu tak otrzymany h-wektor zawsze jest symetryczny! Innymi słowy, $|hi = hd−i$ dla $|i = 0,1,2,...,d$ (np. równość $|h = h 0 d$ to po prostu wzór Eulera). Równości te nazywane są równaniami Dehna-Sommerville'a i zostały udowodnione już w latach dwudziestych XX wieku. Ponadto można udowodnić, że pierwsza połowa h-wektora tworzy ciąg niemalejący (a druga, na mocy symetrii, tworzy ciąg nierosnący). To twierdzenie jest uogólnieniem hipotezy o dolnym ograniczeniu, która w tym języku mówi po prostu, że $|h2⩾ h1.$

Przedstawione własności to ciągle za mało - istnieją spełniające je ciągi, które nie są f-wektorami żadnego wielotopu. Do sformułowania ostatecznej charakteryzacji przyda się nam następujący lemat:

Lemat. Niech $k ⩾ 1.$ Dla dowolnego $m ⩾ 1$ istnieją liczby $|nk > nk−1 > ... >> nl ⩾ l⩾ 1$ takie, że

m = (nk) +( nk−1)+ ⋅⋅⋅+ (nl), k k− 1 l

ponadto są one wyznaczone jednoznacznie.

Dowód pozostawiamy Czytelnikowi Dociekliwemu jako ćwiczenie. Polecamy zastosowanie indukcji względem $k$ - podstawa indukcji jest trywialna, a w kroku indukcyjnym przyda się znana równość

n+ 1 n n− 1 n − k ( ) = ( ) +( ) +...+ ( ). k k k− 1 0

Zdefiniujmy teraz $g0 = h0$ oraz $|gi = hi− hi−1$ dla $d 1⩽ i⩽ ⌊2⌋$ (zauważmy, że $|gi⩾ 0,$ skoro pierwsza połowa h-wektora tworzy ciąg niemalejący). Ustalmy $|i∈{1,2,...,⌊d⌋ −1} 2$ i zgodnie z lematem zapiszmy

ni ni− 1 n j gi = ( )+ ( ) + ⋅⋅⋅+ ( ), i i −1 j

gdzie $ni > ni−1 > ⋅⋅⋅> nj ⩾ j⩾ 1.$ Oznaczmy

@iA ni + 1 ni−1 + 1 n j + 1 gi = (i +1 )+ ( i )+ ⋅⋅⋅+( j+ 1 ).

Rozważania z zakresu geometrii algebraicznej prowadzą do wniosku, że $|gi+1⩽ g@iiA,$ co może się wydawać na pierwszy rzut oka szokujące.

Zależność tę udowodnił Richard Stanley w 1980 roku, a szkic jego rozumowania podajemy na końcu artykułu. Wcześniej w tym samym roku Louis Billera i Carl Lee udowodnili, że tak uzyskane warunki są wystarczające, tzn. że każdy spełniający je ciąg jest f-wektorem pewnego wielotopu. W ten sposób dochodzimy do następującego twierdzenia, dającego ostateczną odpowiedź na postawiony przez nas problem.

Twierdzenie. Wektor $( f0, f1,..., fd−1)$ liczb naturalnych jest f-wektorem pewnego wielotopu symplicjalnego wtedy i tylko wtedy, gdy uzyskany z niego h-wektor jest symetryczny, a g-wektor ma współrzędne nieujemne i spełnia nierówności $g ⩽ g@iA i+1 i$ dla $i = 1,2,...,⌊d⌋ −1. 2$

Jeśli będziemy rozważać wszystkie wielotopy (bez ograniczania się do wielotopów symplicjalnych), to g-wektor nadal będzie miał współrzędne nieujemne. Jednak wciąż pozostaje problem otwarty: czy musi on spełniać powyższe nierówności? W ogólnym przypadku definicje h-wektora i g-wektora (zwanych wówczas h-wektorem torycznym i g-wektorem torycznym) muszą jednak zostać zmodyfikowane i są bardziej skomplikowane (w przypadku symplicjalnym pokrywają się z definicjami podanymi powyżej).

***

Szkic dowodu Stanleya

Twierdzenie. Przy oznaczeniach z artykułu zachodzi $|gi+1⩽ g@iiA$ dla $|i = 1,2,...,⌊d⌋ − 1. 2$

Szkic dowodu. Każdemu wielotopowi, którego wierzchołki mają współrzędne całkowite, możemy przyporządkować pewną rzutową zespoloną rozmaitość algebraiczną (w prostszych słowach - jest to podzbiór zespolonej przestrzeni rzutowej określony pewnym układem równań wielomianowych). Jest to rozmaitość toryczna danego wielotopu.

Wbrew nazwie, nie zawsze jest to rozmaitość w sensie topologicznym. Jednakże jeśli wielotop jest wymiaru $d$ i każdy jego wierzchołek sąsiaduje z dokładnie $d$ innymi wierzchołkami (taki wielotop nazywamy prostym), to uzyskana rozmaitość może się okazać rozmaitością gładką, a w najgorszym razie będzie orbifoldem (jest to coś na kształt "rozmaitości z rogami").

Jeśli teraz umieścimy wielotop symplicjalny $P$ w przestrzeni tak, aby jego wierzchołki miały współrzędne wymierne (to zawsze da się zrobić, jeśli wielotop jest symplicjalny, ale w ogólności nie!), to wielotop dualny (zwany również polarnym) będzie prosty, a jego wierzchołki będą miały współrzędne wymierne. Zatem przekształcając go jednokładnie dostaniemy wielotop o wierzchołkach o współrzędnych całkowitych. Następnie z tego wielotopu otrzymamy pewien orbifold toryczny. Jak ta konstrukcja ma się do f-wektora lub h-wektora? Okazuje się, że współrzędne h-wektora to dokładnie wymiary grup kohomologii (liczby Bettiego) uzyskanej rozmaitości! Co więcej, dowodząc tego faktu, można dowiedzieć się trochę więcej o pierścieniu kohomologii (dokładnie: pierścień kohomologii jest generowany przez $H2$ ). Czytelnik zaznajomiony z topologią algebraiczną może dostrzec, że równania Dehna-Sommerville'a to po prostu dualność Poincarégo!

Odpowiednie geometryczne twierdzenia pokazują też, że dla orbifoldów torycznych zachodzi tzw. trudne twierdzenie Lefschetza, znane z geometrii rozmaitości zespolonych. Daje to element $H ω∈$ taki, że jeśli podzielimy przezeń pierścień kohomologii, otrzymujemy algebrę z gradacją, w której wymiary kolejnych gradacji to dokładnie $g0,g1,...,g d . 2$ Do tego wiemy, że jest ona generowana przez $H2.$

Abstrakcyjny algebraiczny rezultat, który jako pierwszy udowodnił Macaulay w 1927, mówi, że taka sytuacja jest możliwa tylko wtedy, gdy $g | ⩽ g@iA i+1 i$ dla $d |i = 1,2,...,⌊2⌋ − 1.$