Mała Delta

Niemożliwe!

- Lolek, chodź, pokażę Ci jedną stronę w Internecie...

- No, co tam masz? Bolek, wyłącz tego Reksia. Mama mówiła, że nie wolno nam oglądać konkurencji!

- Nie, nie to. Tutaj, w drugiej zakładce. Ktoś na tym forum napisał fajne zadanie. Czytaj.

- Jeżeli sześcian w przestrzeni ma wszystkie wierzchołki w punktach kratowych, to jego krawędź ma całkowitą długość.

Zacząłbyś czytać jakieś porządne fora. Przecież to jest oczywista bzdura.

- Niby czemu?

- Bolek, nie widzisz, skąd to się wzięło? Ktoś pomyślał, że taki sześcian musi mieć krawędzie równoległe do osi współrzędnych. I wtedy to prawda. Ale przecież można wziąć obrócony sześcian, o, zaraz Ci taki jeden narysuję. Proszę! Ma wierzchołki w punktach kratowych? Ma!

- Loluś, ale on akurat ma krawędź całkowitej długości...

- No nie żartuj... $√ ---------- √ -- | 82 + 42 + 12 = 81 = 9$ ... rzeczywiście! Patrz, jak mi się przyfarciło! Ale chyba widzisz, że można trochę poeksperymentować ze współrzędnymi i przykład wyjdzie. Poza tym moralnie to nie może być prawda.

- Moralnie?

- Tak, bo na płaszczyźnie to nieprawda. Zdanie jeżeli kwadrat na płaszczyźnie ma wszystkie wierzchołki w punktach kratowych, to jego bok ma całkowitą długość jest fałszywe: bez problemu można narysować taki kwadrat o boku $-- |√ 5$ albo nawet $-- √ 2.$

- I jak to się ma do sześcianu?

- Tak od razu to nijak. Ale mówiłem, że to moralny argument: skoro na płaszczyźnie analogiczne twierdzenie nie zachodzi, to co dopiero w przestrzeni, gdzie można dużo dowolniej manipulować współrzędnymi!

- Mnie te moralne argumenty jakoś nie przekonują. Na prostej wszystko gra.

- Na prostej?

- No tak, zobacz: jeżeli odcinek na prostej ma oba końce w punktach kratowych, to jego długość jest liczbą całkowitą.

- Teraz to ale Amerykę odkryłeś... Dobra, już dobra, skonstruuję Ci precyzyjny kontrprzykład.

Jaką długość krawędzi byś chciał?

- To ja poproszę $√ --- √ -- | 117 = 3 13.$

- Ambitnie! Ale dobra, niech będzie. Więc tak: jeden wierzchołek będzie w punkcie $0 = (0,0,0),$ następny w jakimś punkcie odległym o $√ --- | 117,$ na przykład... $|u = (10,4,1).$ Teraz zgadniemy sobie jakiś wektor $v$ prostopadły do $u$ i tej samej długości. Powiedzmy, no... czekaj... mam: $|v = (2,−7,8).$

- Na pewno są prostopadłe?

- Nie wierzysz mi? Odległość między ich końcami wynosi

√ --------------------------- √ ---- u− v = (10− 2)2 + (4 + 7)2 + (1− 8)2 = 234

i mamy

u 2 + v 2 = √ 1172 + √ 1172 = √ 2342 = u − v 2,

więc kąt między $u$ i $|v$ jest prosty z twierdzenia Pitagorasa.

- Chyba z twierdzenia odwrotnego do...

- Cicho siedź! Pedant się znalazł. Poza tym łatwo sprawdzić, że Twoje pytanie sprowadza się do obliczenia iloczynu skalarnego

⟨u,v⟩= u1v1 + u2v2 + u3v3 = 10 ⋅2+ 4⋅(− 7)+ 1⋅8 = 0.

Skoro wyszło $|0,$ to kąt jest prosty. Uczyłem się o tym na matematyce. Więc podsumujmy: punkty $|0,u,v$ i $u + v = (12,−3,9)$ wyznaczają kwadrat o boku $|√ --- 117.$ Zgadza się?

- Na razie dobrze.

- To będzie podstawa naszego sześcianu. Teraz wystarczy znaleźć trzeci wektor $w,$ prostopadły do obu $u |$ i $|v.$ Ugh... to chyba potrwa. Przynieś coś do picia.

- Czekaj, o tym to ja się uczyłem na fizyce. To się nazywa iloczyn wektorowy $|u× v.$ Podstawia się dwa wektory i wychodzi wektor prostopadły do nich obu, czyli w Twojej notacji $⟨u × v,u⟩= ⟨u × v,v⟩= 0.$ Chcesz wzór?

- Dawaj!

- Mam go tu w zeszycie. Uwaga: $u× v=(u v − u v ,u v −u v ,u v− u v ). 2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1$

- Trochę długi, ale to nic, podstawiamy: $|u× v = (39,−78,−78).$ To już, bierzemy wektory $u, v$ i $u ×v$ i rozpinamy na nich sześcian! A nie mówiłem!

- Za bardzo się rozpędziłeś. Ten Twój "sześcian" to tylko prostopadłościan. Trzeci wektor ma długość $√ --2--------2-------2 √ ------ | 39 + (−78) + (−78) = 13689 = 117,$ a nie $√ --- | 117.$ Zapomniałem Ci powiedzieć: długość wektora $|u× v$ jest równa polu równoległoboku rozpiętego przez $u$ i $|v.$

- Czyli w naszym przypadku polu kwadratu: $√ --- √ --- | 117⋅ 117 = 117.$ To by się nawet zgadzało. Ehhh... Ale zaraz, nie wystarczy przeskalować ten wektor? Kierunek jest przecież dobry, tylko długość się nie zgadza!

- Bingo! Mamy wektor o długości $|117,$ a chcieliśmy $√ --- | 117,$ czyli trzeba każdą współrzędną podzielić przez $√ 117$ ! No nie... to niedobrze. Wychodzi $√ -- √ -- √ -- ( 13,−2 13,−2 13).$ To nie jest punkt o współrzędnych całkowitych.

- Widzę właśnie. No trudno. Pierwsze koty za płoty. Weźmiemy jakieś inne $|u$ i $v.$ A jak znowu się nie uda, to zmienimy ten $√ --- | 117$ na $√ -- | 13$ albo $√ ---- | 257$ i na pewno w końcu znajdziemy dobry przykład. A tak w ogóle, to czemu ja mam się męczyć? Bolek, Ty miałeś informatykę, weź to zaprogramuj i niech komputer szuka. W jakim języku wy się tam uczycie?

- W COBOLu. Ale wiesz co, to chyba nie jest najlepszy pomysł...

- Bo co? Paru prostych pętli w COBOLu nie umiesz napisać? Nie bądź cienias!

- Nie no, umiem. Ale to chyba nic nie da, bo ja już widzę jak to się skończy.

- To weź mnie oświeć...

- Powiedzmy, że będziemy chcieli zrobić taką konstrukcję, biorąc za krawędź $-- √ 13$ albo $---- |√257,$ albo w ogóle $√ n-$ dla jakiegoś naturalnego $|n.$ Wybierzemy dwa prostopadłe wektory $u$ i $|v$ długości $√ -- | n$ i całkowitych współrzędnych tak jak Ty...

- Wybierzemy albo i nie. Skąd wiesz, że zawsze się da?

- Nieważne, jak się nie da, to i tak nici z konstrukcji, więc powiedzmy, że się udało. Teraz obliczasz wektor $|u× v$ i tak jak poprzednio, on ma współrzędne całkowite i długość $√-- √ -- | n ⋅ n = n.$ Czyli jest za długi, bo miało być $√ -- | n.$ Więc musimy go skrócić $√ -- | n$ razy, bo tylko tam może być trzeci wierzchołek sześcianu...

- Nie tylko tam, jeszcze po przeciwnej stronie!

- Teraz to Ty jesteś pedantem. Znak nic nie zmieni, bo tak czy inaczej wektor $√ -- |(u× v)/ n$ nie ma współrzędnych całkowitych, tylko niewymierne, bo wszędzie się kręci ten nieszczęsny $|√ n!$

- Chyba że...

- Że co?

- ...że $√ -- | n$ jest całkowity. Na przykład $√ --- | 25$ albo $√ --- | 36$ !

- Czyli już! No bo tak jakby pokazaliśmy, że nie da się skonstruować kontrprzykładu. A to chyba to samo, co udowodnić twierdzenie?

- Tak myślę. Weź, zapiszmy to jakoś zgrabnie i możemy opublikować na tym forum.

- Nie ma sensu, tam już jest jedno rozwiązanie.

- Tam już jest... Co? Bolek, Ty mnie zapędzasz w kozi róg, a tam już czeka gotowe rozwiązanie?! Czekaj, jak ja cię dorwę...

- Lolek, czekaj, ała! To nie tak! Bo ja tego rozwiązania z forum tak do końca nie rozumiem! Ono jest jakieś magiczne. Twoje jest dużo lepsze.

- Dobra, przeczytajmy razem, co oni tam piszą. Objętość sześcianu o krawędzi $√ -- | n$ wynosi $√--3 V = n .$ Na razie chyba wszystko jasne?

- Tak, tak. Ale patrz dalej: Ponieważ wszystkie wierzchołki mają współrzędne całkowite, więc objętość $|V$ jest liczbą całkowitą. Tego do końca nie rozumiem. Dalej już jest łatwo: Z równości $V 2 = n3$ wynika, że $n$ jest kwadratem liczby całkowitej, czyli krawędź $√ n-$ jest całkowita.

- Faktycznie magia. To jak to jest z tą objętością? Jest jakiś oczywisty powód, że sześcian o wierzchołkach w punktach kratowych musi mieć całkowitą objętość?

- Trochę o tym myślałem i wydaje mi się, że to może być prawda nawet dla dowolnego równoległościanu. Bo, na przykład, na płaszczyźnie wszystko działa: wzór na pole równoległoboku rozpiętego przez wektory $|u = (u1,u2)$ i $v = (v1,v2)$ to $u1v2 −u2v1 ,$ więc dla współrzędnych całkowitych wynik jest liczbą całkowitą. W przestrzeni też powinien być podobny wzór na objętość. Prawda?

- Wiesz co, Bolek?

- No co?

- Myślałem, że Ciebie nie ruszają takie moralne argumenty.