Najpiękniejsze zadanie geometryczne

Znam takie zadanie. Jego autorem jest Igor Fiodorowicz Szarygin. Jego treść jest nieskomplikowana: jak szeroki walec można włożyć pomiędzy trzy jednakowe, parami prostopadłe walce?

Purysta zażądałby doprecyzowania. Ale człowiek rozsądny nie będzie miał wątpliwości, że chodzi o rezultat ekstremalny, a więc o najmniej korzystną dla wkładanego walca sytuację. A więc walce o osiach parami prostopadłych mają być styczne (bo wtedy miejsca na wkładany walec będzie najmniej).

W rozwiązaniu tego zadania kluczowe jest dostrzeżenie w danych trzech walcach sześcianu. Odkrywa się jego istnienie w następujący sposób.

Osie dwóch walców to proste skośne. Dla prostych skośnych zaś istnieje łączący je odcinek prostopadły do obu z nich - to najkrótsze ich połączenie.

Tu dygresja dla niedowiarków. Gdy proste $k$ i $|l$ są skośne, przez dowolny punkt prostej $k$ prowadzimy prostą $l′$ równoległą do $l,$ a przez dowolny punkt prostej $l$ prostą $|k′$ równoległą do $|k.$ Płaszczyzny $λ$ zawierająca proste $|k$ i $′ l$ oraz $|µ$ zawierająca proste $l$ i $′ k$ są równoległe. Płaszczyzna $π$ zawierająca prostą $k$ i prostopadła do $|λ$ i płaszczyzna $|ρ$ zawierająca prostą $l$ i prostopadła do płaszczyzny $µ$ przecinają się wzdłuż odcinka łączącego $k$ z $|l$ i prostopadłego do nich obu. Nieprawdaż?

Odcinki prostopadłe łączące osie walców dla stycznych walców o promieniu $|R$ mają więc długość $2R.$ Co więcej, ich końce na każdej z osi walców są odległe też o $|2R$ - połączmy je. Powstaje w ten sposób łamana złożona z sześciu odcinków (na rysunku 1 ciągłe odcinki kolorowe). Uzupełnienie jej do sześcianu nie sprawi nikomu kłopotu.

Sześcian ten zawiera w sobie wszystko, co może mieć związek z wkładanym między walce poszukiwanym walcem. Jeśli narysujemy (wyobrazimy sobie), co się dzieje we wnętrzu sześcianu, zobaczymy trzy "ćwiartki" walców (Rys. 2). Tu następne kluczowe (ile jeszcze tych kluczy?) spostrzeżenie - te ćwiartki mają oś obrotową: prosta łącząca dorysowane na rysunku 1 wierzchołki sześcianu ma tę własność, że obracając wokół niej owe ćwiartki (można to robić razem z sześcianem), otrzymujemy tę samą sytuację. Zauważmy, że owa oś jest też osią obrotową dla danych na początku walców. Jest ona, oczywiście, jednakowo odległa od każdej z ćwiartek, a każda inna prosta, biegnąca między ćwiartkami, jest w mniejszej odległości od co najmniej jednej z nich.

Tak więc znaleźliśmy oś poszukiwanego walca, a jego promień to jej odległość od którejkolwiek z ćwiartek.

No to kolejne kluczowe spostrzeżenie: przy zrzutowaniu w kierunki równoległym do powierzchni ćwiartki odległość jej od osi nie powiększa się. I tak nasze stereometryczne zadanie zredukowało się do zadania płaskiego (Rys. 3): jaka jest odległość przekątnej kwadratu u boku $|2R$ od okręgu mającego środek w wierzchołku kwadratu i promień $|R.$

To, że wynikiem jest $√ -- ( 2− 1)R,$ nie budzi wątpliwości.

Zadanie to podziwiam dlatego, że prezentuje rzecz dla mnie w matematyce najpiękniejszą - redukcję zawiłości do sedna sprawy.