Kącik przestrzenny

Płaszczyzny przecinające się w punkcie

W tym kąciku przyjrzymy się metodom rozwiązywania zadań o przecinaniu się płaszczyzn. Jedną z nich jest wskazanie punktu przecięcia i udowodnienie, że należy do każdej z rozważanych płaszczyzn.

Jednym z klasycznych chwytów dowodzenia współpękowości trzech prostych na płaszczyźnie jest twierdzenie Cevy. Okazuje się, że ma ono swój odpowiednik w przestrzeni.

Twierdzenie (Twierdzenie Cevy). Dany jest czworościan $\text{[math]}$ i punkty $\text{[math]}$ leżące odpowiednio wewnątrz krawędzi $\text{[math]}$ (Rys. 1). Wówczas płaszczyzny $\text{[math]}$ przecinają się w jednym punkcie wtedy i tylko wtedy, gdy

display-math

Dowód. Załóżmy najpierw, że dane płaszczyzny mają punkt wspólny $\text{[math]}$ Ponieważ prosta $\text{[math]}$ jest częścią wspólną płaszczyzn $\text{[math]}$ i $\text{[math]}$ zaś prosta $\text{[math]}$ jest częścią wspólną płaszczyzn $\text{[math]}$ i $\text{[math]}$ więc punkt $\text{[math]}$ należy do obu tych prostych (Rys. 2). To dowodzi, że punkty $\text{[math]}$ leżą na jednej płaszczyźnie $\text{[math]}$

Niech $\text{[math]}$ będą rzutami prostokątnymi punktów $\text{[math]}$ na płaszczyznę $\text{[math]}$ (Rys. 3). Punkty $\text{[math]}$ i $\text{[math]}$ są współliniowe, co na mocy twierdzenia Talesa prowadzi do równości

display-math

Analogicznie dowodzimy, że

display-math

Mnożąc otrzymane stosunki, dostajemy tezę.

Przyjmijmy teraz, że

display-math

Niech $\text{[math]}$ będzie punktem wspólnym odcinków $\text{[math]}$ i $\text{[math]}$ zaś $\text{[math]}$ punktem przecięcia płaszczyzny $\text{[math]}$ z odcinkiem $\text{[math]}$ (Rys. 4). Punkt $\text{[math]}$ należy do płaszczyzn $\text{[math]}$ i $\text{[math]}$ Niech $\text{[math]}$ będzie punktem przecięcia płaszczyzny $\text{[math]}$ z krawędzią $\text{[math]}$ Wtedy na mocy wcześniej udowodnionej części twierdzenia dostajemy

display-math

W takim razie

display-math

Stąd wniosek, że $\text{[math]}$ co kończy dowód twierdzenia.

Na koniec podajemy kilka zadań dla Czytelników.