W zawodach okręgowych LXIV Olimpiady Matematycznej pojawiło się zadanie:

Nietrudno zgadnąć, że takie pary istnieją. Uczestnicy zawodów wskazywali różne przykłady. Najczęściej rysowali siatki czworościanów, podając długości krawędzi. Rysunki – bez zachowania proporcji – należało traktować wyłącznie jako schematy, jak tu obok. Widzimy jedną parę siatek, I i II, oraz inną parę, III i IV. W obu tych parach podobieństwa  są jasne; przy tym skala podobieństwa pewnych par trójkątów jest różna od skali innych par, dlatego siatki reprezentują bryły niepodobne.

Który przykład lepszy? Istotnej różnicy niby nie widać. Gdyby rysunki były staranne, może dostrzeglibyśmy, że różnica jest zasadnicza. Z trójkątów w schematach I i II nie da się w przestrzeni złożyć czworościanów! Z siatek III i IV – da się. Jak to uzasadnić?

Są różne sposoby – na przykład tak: wysokości dwóch trójkątów równoramiennych, widocznych w siatce III, wynoszą  i  ; deltoid utworzony przez te trójkąty zaczynamy zginać wzdłuż przekątnej i chcemy, by poruszające się wierzchołki znalazły się w odległości ; do tego potrzeba i wystarcza, by był spełniony warunek  co dla tych wartości szczęśliwie ma miejsce. Podobnie w układzie IV – ale nie w układach I i II; one nie są siatkami czworościanów.

Obejrzenie licznych przykładów – dobrych i złych – w sposób naturalny rodzi pytanie: dany trójkąt o bokach  oraz trzy odcinki o długościach ; znaleźć warunek algebraiczny konieczy i dostateczny, by istniał czworościan o podstawie  i krawędziach  odpowiednio przeciwległych do  Otóż da się (być może, nieoczekiwanie) uzyskać ów warunek, rachując na liczbach zespolonych – w płaszczyźnie podstawy.

Nie tracimy ogólności przyjmując, że wierzchołki podstawy są reprezentowane przez liczby zespolone o module (zysk dobrze znany: ). Wówczas

(1)

Wprowadźmy oznaczenie

(2)

Dalej przydadzą się jeszcze takie zależności (oszczędzimy Czytelnikom szczegółowych rachunków, zachęcając do samodzielnego ich uzupełnienia):

(3)

Teraz trochę geometrii. Okręgi  o środkach  i promieniach  są okręgami wielkimi trzech sfer w przestrzeni. Nasze pytanie brzmi: czy te sfery mają punkt wspólny? Punkt ów byłby wierzchołkiem szukanego ostrosłupa. Spodek opuszczonej z niego wysokości musi leżeć na prostej przechodzącej przez punkty przecięcia okręgów ; również na analogicznej prostej dla okręgów  i dla (jeżeli któreś dwa okręgi się nie przecinają, to sfery na pewno się nie spotkają).

Problem sprowadza się do pytania płaskiego: czy trzy osie potęgowe, utworzone dla trzech par z tej trójki okręgów, przecinają się w punkcie, leżącym wewnątrz nich?

Punkt ów jest reprezentowany przez liczbę zespoloną  scharakteryzowaną równościami

(4)

Oznaczmy tę wspólną wartość przez ; to potęga punktu  względem każdego z trzech okręgów. Czworościan, o który chodzi, istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy

Gdy zapiszemy  jako (podobnie ) i wymnożymy nawiasy, składnik  w równaniach (4) ulegnie redukcji, pozostawiając układ dwóch równań liniowych z niewiadomymi

Jego rozwiązanie jest natychmiastowe i daje wynik

(5)

Liczba  równa każdemu z trzech wyrażeń, występujących w (4), jest oczywiście także ich średnią arytmetyczną:

(6)

Po wprowadzeniu wzorów (5) i uporządkowaniu wszystkiego według potęg  dostaniemy wielomian względem  w którym jako współczynniki pojawią się – po krótkich przekształceniach – wyrażenia, napisane po prawych stronach równości (3), mnożone lub dzielone przez pewne potęgi liczby  oraz iloczynu  Uwzględniając jeszcze związki (2), pozbywamy się w ogóle liter  i doprowadzamy do wyniku

(7)

Licznik  można zapisać w równoważnych postaciach (Czytelniku, sprawdź!):

zaś warunek istnienia czworościanu brzmi:

Jego ściany to trójkąty o bokach  Z postaci wyznacznikowej wzoru (8) widać, że nic się nie zmieni, gdy inną z tych trójek – np. – przyjmiemy za ścianę podstawy. Dokładniej: po zastąpieniu szóstki uporządkowanej  przez  wartość  będzie taka sama; w wyznaczniku nastąpi jednoczesna permutacja wierszy i kolumn.

Zaczęliśmy od trójkąta o bokach  oraz trójki liczb  Gdyby mówić, bardziej abstrakcyjnie, o szóstce liczb dodatnich  należałoby jeszcze dołączyć warunek trójkąta dla trójki : wówczas jeśli  to czworościan istnieje, więc automatycznie w każdej z trójek  warunek trójkąta jest spełniony. Podsumowując:

Dla liczb  czworościan o ścianach  istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy  oraz w co najmniej jednej z tych trójek (równoważnie: we wszystkich) spełniony jest warunek trójkąta.

Całe rozumowanie można też prowadzić inną metodą. Wymaga ona jednak wstępnego założenia, że istnieją trzy z czterech wymienionych trójkątów – na przykład trójkąty  Gdy miary ich kątów między bokami  mają sumę mniejszą od  oraz spełniają warunek trójkąta (a to można kontrolować wzorem kosinusów), wówczas da się zaczepić odcinki  w jednym punkcie przestrzeni i zbudować żądany czworościan. Rzecz jasna, wychodzi znów warunek

Trygonometryczne wyprowadzenie warunku  znajduje się w pracy: K. Wirth, A. S. Dreidling, Edge lengths determining tetrahedrons, Elemente d. Math. 64 (2009)

Wróćmy jeszcze do wzoru (4):  Gdy czworościan istnieje, twierdzenie Pitagorasa pokazuje, że liczba  jest kwadratem wysokości  opuszczonej na płaszczyznę ściany  Ale iloraz we wzorze (7) ma w liczniku i w mianowniku wyrażenia jednakowego stopnia – coś się nie zgadza? To proste – jednorodność została utracona, gdy przyjęliśmy, że trójkąt  jest wpisany w okrąg o promieniu 1. Przyjmując, że ten okrąg ma promień  i prowadząc analogiczne rachunki, doszlibyśmy do równości

wymiar już jest, jak trzeba.

Zważywszy, że pole  trójkąta  jest dane wzorem  zaś objętość ostrosłupa wzorem  dochodzimy do konkluzji, że wielkość  we wzorach (7), (8) wyraża, z dokładnością do czynnika, kwadrat objętości rozważanego czworościanu:  To analogon wzoru Herona dla pola trójkąta.

Na zakończenie słów parę o ocenianiu prac uczestników olimpiady. Przykład „siatki”, która nie jest siatką (nie skleja się w przestrzeni, jak I lub II), był oceniany na zero – trudno inaczej. Przykłady dobrych siatek (jak III i IV, jedynie bez uzasadnienia, że się dadzą skleić) otrzymywały ocenę niezerową – znów: trudno inaczej. Ta niezerowa ocena była jednak daleka od maksymalnej, co wywołało pretensje wielu zawodników: przecież część koncepcyjna została wykonana, zabrakło prostego sprawdzenia. No tak; ale zawodnicy, którzy dali przykłady nieistniejących brył, także wykonali ową pracę koncepcyjną, im też zabrakło jedynie prostego sprawdzenia – tyle, że niewykonalnego. Wszelako autorzy i tych, i tych prac, byli w większości zupełnie nieświadomi problemu realizacji przestrzennej, i jedynie kwestią szczęścia/pecha było znalezienie siatek jak (III, IV)/(I, II). Te prace należało w zasadzie ocenić jednakowo. Na zero? nonsens; na ocenę dodatnią? nonsens. Dedykujemy tę opowiastkę głosicielom opinii, że system punktowy jest świetnym narzędziem, pozwalającym ustalać wyniki konkursów i egzaminów rzetelnie, sprawiedliwie i obiektywnie.