Dowód twierdzenia.
a) Rozważmy elipsoidę obrotową  o ogniskach  i   oraz elipsoidę obrotową  o ogniskach  i   przechodzące przez punkt  Ponieważ punkt  minimalizuje sumę  to z wcześniejszych obserwacji wnosimy, że dane dwie elipsoidy nie mogą mieć punktów wspólnych wewnętrznych, a więc muszą być styczne w punkcie (Rys. 3). Niech  oznacza wspólną płaszczyznę styczną do tych elipsoid w punkcie  zaś  prostą prostopadłą do płaszczyzny  przechodzącą przez  Wówczas z przytoczonego powyżej faktu wynika, że prosta ta jest dwusieczną zarówno kąta płaskiego  jak i   Identyczne rozumowanie przeprowadzimy dla par kątów  i   oraz  i 

b) Wybierzmy na półprostych  i   odpowiednio takie punkty  i   że (Rys. 4). Punkt  jest więc środkiem sfery opisanej na czworościanie  Niech ponadto prosta  zdefiniowana jak w części a), przecina odcinki  i   odpowiednio w punktach  i   Skoro  i   to  i   są odpowiednio środkami odcinków  i   Zatem środek sfery opisanej na czworościanie  leży na prostej łączącej środki odcinków  i   W ten sam sposób uzasadniamy, że leży on na prostej łączącej środki odcinków  i   W takim razie musi pokrywać się ze środkiem ciężkości czworościanu  a to oznacza, że czworościan ten jest równościenny (korzystamy tu z twierdzenia opisanego w Kąciku przestrzennym 12, w Delcie 4/2012). Stąd wnioskujemy, że

Analogicznie otrzymujemy pozostałe równości.

c) Wykorzystując zależności

widzimy, że postulowaną równość możemy przepisać w postaci

(*)

Jeśli  i   są środkami odcinków  i   to

Na koniec zauważmy, że skoro  jest środkiem ciężkości czworościanu  to

d) Wystarczy wykorzystać zależność  i własności iloczynu skalarnego (np. ). Uzupełnienie szczegółów pozostawiamy Czytelnikom.

---