Dowód. (a) (b). Oznaczmy przez  punkty styczności danej sfery odpowiednio z krawędziami  Wówczas z Najmocniejszego Twierdzenia Stereometrii (patrz Kącik 2) otrzymujemy

Nietrudno teraz zauważyć, że sfery o środkach  i promieniach odpowiednio  są parami styczne.

(b) (c). Przyjmując poprzednie oznaczenia, otrzymujemy

i podobnie

Rys. 2

(c) (d). Załóżmy, że okręgi wpisane w trójkąty  i   są styczne do krawędzi  odpowiednio w punktach  i   Wtedy wykorzystując zależność  otrzymujemy

a więc  czyli okręgi te są styczne do krawędzi  w tym samym punkcie. W ten sam sposób stwierdzamy, że każde dwa okręgi wpisane w ściany czworościanu są styczne.

Rys. 3

(d) (a). Załóżmy, że okręgi wpisane w ściany czworościanu są parami styczne i oznaczmy przez  ich punkty styczności odpowiednio z krawędziami  Przez środki  oraz  okręgów wpisanych odpowiednio w ściany  i   prowadzimy proste prostopadłe do tych ścian. Ponieważ leżą one w płaszczyźnie  i nie są równoległe, więc mają punkt wspólny  Istnieje sfera o środku  zawierająca okręgi wpisane w ściany  i  (a więc styczna do pięciu krawędzi czworościanu zawartych w tych ścianach). Częścią wspólną tej sfery z płaszczyzną  jest okrąg styczny do  w punkcie  zaś do  w   Taki okrąg jest wyznaczony jednoznacznie, a zatem z założenia wnosimy, że musi być to okrąg wpisany w trójkąt  Stąd wniosek, że dana sfera jest też styczna do krawędzi

---

Dowód. Oznaczmy, jak poprzednio, przez  punkty styczności sfery  z krawędziami czworościanu  Wykażemy najpierw, że punkty  leżą na jednej płaszczyźnie.

Jeśli  to  i proste  i   są równoległe, więc leżą na pewnej płaszczyźnie. W przeciwnym razie istnieje punkt  przecięcia prostych  i   Z twierdzenia Menelaosa otrzymujemy

Zatem z twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Menelaosa wnosimy, że punkt  leży również na prostej  W takim razie i w tym przypadku punkty  leżą na jednej płaszczyźnie.

Odcinki  i   mają więc punkt wspólny  Analogicznie stwierdzamy, że odcinki  i   przecinają się w punkcie  W ten sam sposób dowodzimy, że punkty  leżą na jednej płaszczyźnie, do której należą w szczególności punkty  i   Jednak odcinek  nie leży w tej płaszczyźnie, a więc może mieć z nią co najwyżej jeden punkt wspólny. Zatem  i rozważane trzy odcinki są współpękowe.

---