Kącik przestrzenny

Inwersja w przestrzeni i rzut stereograficzny

Kiedy na płaszczyźnie mamy do czynienia z okręgami, to bardzo często posługujemy się rachunkiem na kątach, ponieważ znamy wiele przydatnych twierdzeń i faktów z tego zakresu. Niestety, trudno o analogiczne narzędzia w przestrzeni. Stanowi to wielki kłopot, gdy zmagamy się z zadaniami o sferach. Istnieje jednak kilka innych technik, skutecznych w zadaniach o okręgach, które działają również w przestrzeni. Są to: potęga punktu, jednokładność oraz inwersja. O tej ostatniej metodzie opowiemy w tym kąciku.

Przypomnijmy najpierw definicję i proste własności. Inwersją względem sfery $\text{[math]}$ o środku $\text{[math]}$ i promieniu $\text{[math]}$ (mówi się o nich często: środek inwersji i promień inwersji) nazywamy przekształcenie, które przypisuje punktowi $\text{[math]}$ taki punkt $\text{[math]}$ leżący na półprostej $\text{[math]}$ że $\text{[math]}$ Widać podobieństwo do definicji inwersji względem okręgu: ona wnętrze okręgu rozciąga na całe zewnętrze, a zewnętrze wpycha do wewnątrz – inwersja względem sfery podobnie zamienia jej wnętrze z zewnętrzem.

Inwersja względem sfery ma wiele przydatnych własności – oto niektóre z nich:

inwersja jest przekształceniem odwrotnym do siebie,
płaszczyzny i sfery przechodzą na płaszczyzny lub sfery,
proste i okręgi przechodzą na proste lub okręgi,
płaszczyzny i proste przechodzące przez środek inwersji przechodzą na siebie,
płaszczyzny i proste nieprzechodzące przez środek inwersji przechodzą odpowiednio na sfery i okręgi przechodzące przez środek inwersji,
sfery i okręgi nieprzechodzące przez środek inwersji przechodzą odpowiednio na sfery i okręgi nieprzechodzące przez środek inwersji,
inwersja zachowuje kąty między krzywymi – kąt między krzywymi to kąt między prostymi stycznymi do tych krzywych w ich punkcie przecięcia.

Czytelnik dostrzeże, iż – niestety – nie można mówić o zachowaniu kąta między powierzchniami, gdyż pojęcie kąta między powierzchniami sensu nie ma: płaszczyzny styczne do dwóch powierzchni w różnych ich punktach wspólnych mogą tworzyć różne kąty dwuścienne.

Wygodnie jest jednak mówić o kątach między płaszczyznami, czy między sferami, czy też między płaszczyznami i sferami, bo w tych przypadkach rozwartość powstałych kątów dwuściennych nie zależy od tego, który punkt wspólny rozpatrujemy. Takie kąty są również przez inwersję zachowywane. Wykorzystamy to w następującym zadaniu, którego płaski odpowiednik jest banalnym rachunkiem na kątach.

Bardzo ważnym, szczególnym przypadkiem inwersji jest tak zwany rzut stereograficzny. Załóżmy, że punkt $\text{[math]}$ leży na sferze $\text{[math]}$ zaś płaszczyzna $\text{[math]}$ jest styczna do tej sfery w punkcie $\text{[math]}$ symetrycznym do $\text{[math]}$ względem środka tej sfery. Obrazem dowolnego punktu $\text{[math]}$ na sferze jest punkt $\text{[math]}$ przecięcia prostej $\text{[math]}$ z płaszczyzną $\text{[math]}$ Niezwykle ważną własnością rzutu stereograficznego jest to, że jest on niczym innym, jak inwersją o środku $\text{[math]}$ i promieniu $\text{[math]}$ chociaż interesuje nas jedynie obraz sfery $\text{[math]}$ w tej inwersji. W szczególności przekształcenie to ma wszystkie własności inwersji. Popatrzmy, jak je wykorzystać w następującym zadaniu.

Zadania do domu

Na koniec całe mnóstwo zadań do domu.