Rys. 1

Rys. 2

Rys. 3

I chyba nikt w rzeczywistości nie spotkał się w szkole czy na studiach z tak opisaną sytuacją. Nietrudno też byłoby uzasadnić, dlaczego tak jest, ale tu nie będziemy tego robić, tylko zajmiemy się kratką wyplecioną z wikliny albo z dość sztywnych drutów (takich, z jakich zrobione są siatki w płotach), taką jak na rysunku 1.

To, że jest ona kwadratowa, można łatwo zmienić. Jeśli pociągniemy ją (rzecz jasna, delikatnie) za przeciwległe rogi, możemy uzyskać romb (gdy ciągniemy w płaszczyźnie kratki) albo też coś w rodzaju siodła (gdy zegniemy kratkę – Rys. 2). W tym drugim przypadku powstaje pytanie, czy faktycznie w dalszym ciągu pręty wiklinowe (czy druty) mogą pozostać proste, czy też tylko nam się tak wydaje.

To, że faktycznie mogą one pozostać proste, gwarantuje twierdzenie Gallucciego:

Ortodoksyjny geometra powinien w tym momencie sięgnąć po aksjomaty (w wersji Euklidesa, Hilberta, Tarskiego, Krygowskiej...  i wyprowadzić z nich to twierdzenie. My, oczywiście, postąpimy inaczej. Narysujemy (starannie, linijką – inne przyrządy nie będą potrzebne) rysunek, taki jak rysunek 3.

W ostatnim zdaniu najistotniejszym słowem jest narysujemy i w nim tkwi to, co uzasadni twierdzenie Gallucciego.

Nie piszę udowodni w obawie krzyku Beotów, jakby powiedział Gauss. Bardziej odważny ode mnie jest Harold S.M. Coxeter, który przedstawione dalej rozumowanie śmiało (i słusznie) nazywa dowodem.

Istotne jest też to, jak taki rysunek wykonać. I na czym polega jego ważna w poniższych rozumowaniach cecha, jaką jest stabilność.

Zaczynamy od narysowania prostej  Następnie wybieramy dowolny, nieleżący na niej punkt  i prowadzimy przez niego dowolne trzy proste przecinające  (nazwijmy otrzymane punkty przecięcia ).

Teraz na prostej  obieramy dowolnie punkt  i prowadzimy przez niego dowolne dwie proste przecinające  (otrzymane punkty nazwijmy  i  ) i nierównoległe do dotychczas narysowanych. Ponadto oznaczmy przecięcie prostej  z   przez  a przecięcie  z   przez  I jeszcze niech przecięcie  z   nazywa się

Po drugiej stronie  wykonamy PRAWIE taki sam rysunek. Punkt  obieramy dowolnie. Na prostej  dowolnie obieramy punkt  Przecięcie prostej  z   oznaczamy przez  a przecięcie  z  przez  I teraz okazuje się (proszę sprawdzić, najlepiej wielokrotnie, różnie obierając początkowe punkty), że punkty  i  leżą na jednej prostej.

To, że tak się zawsze zdarzy, nazywa się właśnie stabilnością rysunku.

No właśnie: skoro tak jest zawsze, to możemy postąpić jak przyrodnicy i uznać to za prawo przyrody, a takie nie wymagają dowodów.

Spostrzeżenie o stabilności będzie nam potrzebne, abyśmy mogli uznać, że dowodząc czegoś dla tych konkretnych punktów, dowodzimy tego dla dowolnych punktów powiązanych wskazanymi wyżej zależnościami.

Teraz dokonamy całkiem realnej operacji: zegniemy pod pewnym kątem kartkę z rysunkiem 3 wzdłuż prostej  Oczywiście, wygląda to nadal tak samo, więc możemy nadal korzystać z rysunku 3.

Jako jedną z trójek prostych skośnych, o których mówią założenia twierdzenia Gallucciego, weźmy  i  jako drugą –  i  Czytelnik Spostrzegawczy zauważy, że na rysunku nie ma tych prostych – to słuszna uwaga, ale ich narysowanie czyniłoby rysunek zupełnie nieczytelnym (nie wiadomo byłoby, które linie przecinają się, a które mijają), a przecież i tak o tych (niewidzialnych) prostych możemy wiele powiedzieć.

Możemy np. sprawdzić, że proste w każdej trójce faktycznie są skośne. Sprawdźmy to dla  i  (pozostawiając pozostałe 5 sprawdzeń Czytelnikowi). Gdyby te proste leżały na jednej płaszczyźnie, na jednej płaszczyźnie leżałyby punkty  i  a więc kartka nie byłaby zgięta.

Możemy też sprawdzić, że każda z prostych pierwszej trójki przecina każdą z drugiej trójki. Sprawdzimy to dla  (jak poprzednio, pozostawiając pozostałe 6 sprawdzeń Czytelnikowi) – dla wspomożenia wyobraźni przedstawiamy obok schemat powstałej sytuacji.  z  ma wspólny punkt  a z  wspólny punkt  Trzecie sprawdzenie jest mniej banalne: ponieważ  i  mają wspólny punkt  więc leżą na jednej płaszczyźnie i na tej płaszczyźnie poprowadzone są proste  i  – gdyby były przypadkiem równoległe, wystarczy jeden z punktów na tej płaszczyźnie odrobinę przesunąć (tu korzystamy ze stabilności!).

Uwaga! To nie jest rysunek, a tylko schemat pokazujący zależności. Sytuacja rzeczywista tak nie wygląda.

Tak więc (wraz z Czytelnikiem) uzyskaliśmy dziewięć punktów zaznaczonych na schemacie czarnymi kropkami.

Połóżmy teraz poprzeczkę na pierwszej trójce prostych (po angielsku transversal jest pełnoprawnym terminem geometrycznym) przechodzącą przez

Ponieważ poprzeczka ta przecina  więc leży na płaszczyźnie  czyli na  (  i  to ta sama prosta). Analogicznie, skoro przecina  więc leży na płaszczyźnie  czyli  Zatem ta poprzeczka to przecięcie płaszczyzn  i  czyli prosta  bo proste  i  przecinają się w 

Z kolei połóżmy na drugiej trójce prostych skośnych poprzeczkę przechodzącą przez  Leży ona na  czyli  i na  czyli  a więc – jak widać, jest prostą  Nietrudno zauważyć, że  przechodzi przez  a więc poprzeczki mają punkt wspólny, mianowicie

* * *

Nietrudno wyobrazić sobie, że przedstawiony wyżej dowód nie wszystkich przekonał. Formalistom brakowało zapewne odwołania nie tyle może do aksjomatów, co do jakichś powszechnie uznanych za pewne, a także za normalne, twierdzeń – takich, na które moglibyśmy się powoływać, bez obawy, że nasz egzaminator ich nie zna. Realistów mogło zrazić zagmatwanie sytuacji, w której rysujemy proste, o których uzasadniane twierdzenie się nie wypowiada, by nie rysować prostych, o których mówi – i to wszystko jakoby dla większej przejrzystości.

Ale, jako się rzekło, geometria jest nauką doświadczalną. Inżynierowie umocowali sześć zbrojonych betonowych belek w sposób spełniający założenia twierdzenia Gallucciego i, faktycznie, można było na nie kłaść następne belki, zgodnie z tym twierdzeniem. Tak powstał dach przystanku kolejowego Warszawa Ochota. Twierdzenie zatem jest prawdziwe.

---

Postscriptum 1 (o takich dowodach)

W podobny sposób można dowieść np. następującego twierdzenia:

W przeciwnym bowiem razie ten czworościan położony na stole bez końca by się przewracał.

Postscriptum 2 (o innej kratce z patyczków)

Jeśli połączymy pionowymi patyczkami dwa poziome jednakowe okręgi, a następnie obrócimy jeden z tych okręgów o jakiś kąt, to otrzymamy jedną z dwóch „górnych” sytuacji z rysunku 4 – w zależności od tego, w którą stronę będziemy obracać. Nie potrzeba specjalnej wyobraźni, by nałożyć jeden rysunek na drugi, a nawet zrealizować to, co wyjdzie, wikliną lub drutem. Taką kratką jest np. konstrukcja nośna miejskiej wieży ciśnień w Ciechanowie.

Tym, którzy z pewnym dystansem odnieśli się do całego tego tekstu, przyjemnie będzie przeczytać, że administracja Ciechanowa też z dystansem odnosi się do tej budowli.

Postscriptum 3 (może jednak trochę formalizmu)

Pewna Młoda Dama po przeczytaniu wersji wstępnej tego tekstu powiedziała, że to chyba wiele hałasu o nic, bo o obu tych powierzchniach jest mowa na I roku studiów matematycznych w ramach algebry liniowej – są to paraboloida hiperboliczna i hiperboloida jednopowłokowa, o wygodnych równaniach

Rzeczywiście, to są te powierzchnie, ale pamiętam, że – gdy byłem na I roku – stwierdzenie, że to takie gęste kratki, zrobiło na mnie wrażenie i chciałem się dowiedzieć, czy to można jakoś zobaczyć, a nie tylko wyliczyć.

Postscriptum 4 (Wielcy też o tym myśleli)

Okazuje się, że sprawa kratek nękała też Hugona Steinhausa. W Księdze Szkockiej są aż cztery postawione przez niego problemy na ten temat. Oto one.

I jest dopisek z 30 lipca 1935 roku:

Dopisek Stanisława Ruziewicza (z 31 lipca 1935 roku):

Tu koledzy zawiedli – brak odpowiedzi do dzisiaj.

Problem 81 (z 6 sierpnia 1935 roku) też jest na ten temat, ale jest postawiony tak zawile, że komentator w wydanej pod redakcją R. Daniela Mauldina The Scottish Book ograniczył się do podania kilku możliwych interpretacji zadanych w nim pytań i (co jest całkowitym w tej książce ewenementem) podpisał się nic nieznaczącym pseudo: Recenzent.

Po tych wszystkich wyjaśnieniach czuję się usprawiedliwiony z napisania tego tekstu, M. K.