Kącik przestrzenny

Jak wyjść z dżungli?

Każdy, kto był w dżungli lub chociaż widział ją w jakimś filmie, wie, że poruszanie się po niej jest, delikatnie mówiąc, dosyć uciążliwe. Stanowi to ogromny kłopot szczególnie wtedy, gdy ktoś się w niej zgubi i chce się jakoś wydostać. Nie dość, że nie wiadomo, w jakim kierunku iść, to w ogóle ciężko jest nam pokonywać przeszkody (a rozwiązania siłowe, takie jak maczeta, niewiele dają). Istnieje następujące zalecenie: wystarczy znaleźć strumień (co zresztą wcale nie musi być łatwe), a potem liczyć na to, że zaprowadzi nas on do większej rzeki, a ta, być może, do morza.

Podobnie jest z zadaniem pochodzącym z finału olimpiady rosyjskiej z 1994 roku – oto ono:

Zadanie. Punkt $\text{[math]}$ przecięcia wysokości $\text{[math]}$ czworościanu $\text{[math]}$ leży wewnątrz tego czworościanu oraz jest środkiem sfery wpisanej w czworościan $\text{[math]}$ Dowieść, że czworościan $\text{[math]}$ jest foremny.

Rysunek do tego zadania jest potworną plątaniną kresek – zupełnie nic nie widać. Może się wydawać, że znajdujemy się w samym środku dżungli... Okazuje się jednak, że wystarczy uczynić jedno drobne spostrzeżenie (czyli wypatrzeć strumień), które zaprowadzi nas łatwo do celu. Zatem do dzieła!

Z poprzednich kącików wiemy już, że warto zrobić sobie kilka rysunków, na których będą tylko potrzebne nam kreski. No właśnie, tylko co narysować, a czego nie? Wydaje się, że potrzebujemy stosunkowo dużo kresek (Rys. 1) i właściwie nie widać, jak wykorzystać fakt, że punkt $\text{[math]}$ jest środkiem sfery wpisanej w czworościan $\text{[math]}$ Można tylko zobaczyć, że płaszczyzny wyznaczone przez dwie wysokości czworościanu $\text{[math]}$ są płaszczyznami dwusiecznymi odpowiednich kątów dwuściennych czworościanu $\text{[math]}$ ale co zrobić potem?

Próbujmy więc dalej. Pamiętamy również, że gdy nie wiemy, co zrobić w przestrzeni, to warto rozwiązać analogiczne zadanie na płaszczyźnie. No to rozwiążmy! Zakładamy, że ortocentrum danego trójkąta ostrokątnego jest środkiem okręgu wpisanego w trójkąt utworzony przez spodki jego wysokości i wtedy... No właśnie, niestety, na płaszczyźnie jest inaczej, bowiem zachodzi łatwe do udowodnienia

Twierdzenie 1. Punkt $\text{[math]}$ przecięcia wysokości $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ i $\text{[math]}$ dowolnego trójkąta ostrokątnego jest środkiem okręgu wpisanego w trójkąt $\text{[math]}$ (Rys. 2).

Tym razem nie uda się nam „zejście na ziemię”. Zadanie wydaje się niemożliwe do rozwiązania. Ale przecież nie ma rzeczy niemożliwych, są tylko takie, których jeszcze nie potrafimy!

Mimo wszystko może ten płaski odpowiednik zadania do czegoś nam się przyda. Przyjrzyjmy się dokładniej płaszczyźnie $\text{[math]}$ na rysunku 3. Wysokości czworościanu $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ oraz odcinek $\text{[math]}$ są wysokościami trójkąta ostrokątnego $\text{[math]}$ a $\text{[math]}$ jego ortocentrum. Korzystając teraz z twierdzenia 1, wnosimy, że $\text{[math]}$ jest środkiem okręgu wpisanego w trójkąt $\text{[math]}$ czyli w szczególności $\text{[math]}$ Krawędź $\text{[math]}$ leży w płaszczyźnie $\text{[math]}$ i przecina odcinek $\text{[math]}$ w punkcie $\text{[math]}$ Intuicja podpowiada nam, że, być może, zachodzi równość $\text{[math]}$ Może miary tych kątów płaskich są równe miarom odpowiednich kątów dwuściennych między płaszczyzną $\text{[math]}$ a płaszczyznami $\text{[math]}$ i $\text{[math]}$ (których równość łatwo jest uzasadnić)? Niestety, w ogólnej sytuacji wcale nie musi tak być. Czyżby intuicja nas zawiodła? Otóż nie – można znaleźć uzasadnienie. Mianowicie, jeśli płaszczyzna $\text{[math]}$ jest płaszczyzną dwusieczną kąta dwuściennego między płaszczyznami $\text{[math]}$ i $\text{[math]}$ to płaszczyzny te są symetryczne względem $\text{[math]}$ Ponadto z prostopadłości płaszczyzn $\text{[math]}$ i $\text{[math]}$ wynika, że również proste $\text{[math]}$ i $\text{[math]}$ są symetryczne względem płaszczyzny $\text{[math]}$ To zaś oznacza, że $\text{[math]}$ W takim razie trójkąty $\text{[math]}$ i $\text{[math]}$ są przystające, skąd wniosek, że $\text{[math]}$ Strumień został więc znaleziony! Dalej będzie już z górki.

Teraz w nietrudny sposób można wykazać, że $\text{[math]}$ (dowód pozostawiamy Czytelnikowi), a w takim razie też $\text{[math]}$ Analogicznie dowodzimy, że dowolne dwie sąsiednie krawędzie są równe, co kończy dowód. Nie ma rzeczy niemożliwych: każde, nawet najbardziej skomplikowane zadanie da się rozwiązać!