Sposób I – za pomocą twierdzenia Pitagorasa. Oznaczmy przez  i  środki krawędzi  i  Odcinki  i  są wysokościami trójkątów równobocznych  i  a więc ich długości są równe  Trójkąt  jest więc równoramienny, zatem jego środkowa  jest jednocześnie jego wysokością i z twierdzenia Pitagorasa obliczymy, że  Jeśli  to wiemy już, że  Dalej przyjmijmy dla ustalenia uwagi, że  Trójkąt  jest prostokątny, a skoro  to znów korzystając z twierdzenia Pitagorasa, obliczymy, że

Płaszczyzna  jest płaszczyzną symetralną odcinka  a więc jest do niego prostopadła. To samo dotyczy dowolnej prostej w niej zawartej, skąd wniosek, że  Z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta prostokątnego  dostajemy

skąd

---

Sposób II – za pomocą wpisania czworościanu foremnego w sześcian. Na czworościanie  opiszmy sześcian  Długość jego krawędzi jest równa  Niech  będzie takim punktem na odcinku  że  i   Wtedy odcinek  jest prostopadły do podstawy  a jego długość jest równa długości krawędzi sześcianu, czyli  Znowu, jeśli  to punkt  pokrywa się z punktem  a więc odcinek  pokrywa się z  – stąd  W przeciwnym przypadku trójkąt  jest prostokątny. Korzystając np. z twierdzenia Talesa, możemy obliczyć, że  Stosując teraz twierdzenie Pitagorasa dla trójkąta  otrzymujemy

i znów

---

Sposób III – za pomocą... chytrego, niestandardowego pomysłu. Niech  będzie takim punktem leżącym na krawędzi  że  i   Trójkąty  i  są równoboczne, a stąd wynika, że  i   Z twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Talesa wnioskujemy, że  i   Ale krawędzie  i  czworościanu  są prostopadłe (dlaczego?), skąd wnioskujemy, że trójkąt  jest prostokątny. Twierdzenie Pitagorasa daje więc wynik

---