Deltoid

Numerowanie

Delta, kwiecień 2011

o artykule ...

Publikacja w Delcie: kwiecień 2011
Publikacja elektroniczna: 31-03-2011
Wersja do druku [application/pdf]: (109 KB)

Na pierwszym etapie tegorocznej Olimpiady Matematycznej pojawiło się poniższe zadanie 1 o numerowaniu krawędzi dwunastościanu. Spośród licznych zadań o podobnej tematyce prezentujemy kilka o dość różnorodnych rozwiązaniach.

Narzędzia
Obiekty: Wielościany
Słowa kluczowe
Kategoria: Stereometria

Numerowanie»Zadanie 1

o zadaniu...

Zadanie pochodzi z artykułu Numerowanie
Publikacja w Delcie: kwiecień 2011
Publikacja elektroniczna: 31-03-2011
Artykuł źródłowy w wersji do druku [application/pdf]: (109 KB)

Dwunastościan foremny: 12 ścian, 30 krawędzi i 20 wierzchołków.

Krawędzie dwunastościanu foremnego (rys. 1) chcemy ponumerować liczbami $\text{[math]}$ używając każdej z nich dokładnie raz. Rozstrzygnij, czy można to uczynić, tak aby suma numerów krawędzi wychodzących z dowolnego wierzchołka była:
(a) parzysta;
(b) podzielna przez 4.

Rozwiązanie

Dwunastościan widziany przez przednią ścianę.

(a) Można (rysynek obok). Kolorem zaznaczono krawędzie o nieparzystych numerach.

(b) Nie można. Niech $\text{[math]}$ oznacza sumę wszystkich numerów krawędzi:

display-math

Niech $\text{[math]}$ oznacza sumę numerów w $\text{[math]}$ -tym wierzchołku ( $\text{[math]}$ ). Wtedy $\text{[math]}$ bo numer każdej krawędzi jest liczony dwukrotnie – przy każdym z jej końców. Gdyby każda z liczb $\text{[math]}$ była podzielna przez 4, to $\text{[math]}$ także. Jednak $\text{[math]}$ nie dzieli się przez 4.

Narzędzia
Obiekty: Wielościany
Słowa kluczowe
Kategoria: Stereometria

Numerowanie»Zadanie 2

o zadaniu...

Zadanie pochodzi z artykułu Numerowanie
Publikacja w Delcie: kwiecień 2011
Publikacja elektroniczna: 31-03-2011
Artykuł źródłowy w wersji do druku [application/pdf]: (109 KB)

W wierzchołkach sześcianu napisano siedem zer i jedną jedynkę. Do każdej z liczb na końcach dowolnej krawędzi można dodać 1. Czy wykonując szereg takich operacji, można sprawić, by wszystkie liczby w wierzchołkach były
(a) równe
(b) podzielne przez 3?

Rozwiązanie

(a) Nie. Opisana operacja zwiększa o 2 sumę wszystkich liczb. Początkowo suma ta jest równa 1, więc zawsze jest nieparzysta, czyli niepodzielna przez 8.

(b) Nie. Wyróżnijmy liczby w czterech wierzchołkach, jak na rysunku. Niech $\text{[math]}$ oznacza ich sumę, a $\text{[math]}$ – sumę pozostałych czterech liczb. Opisana operacja nie zmienia $\text{[math]}$ Początkowo $\text{[math]}$ Tymczasem gdyby $\text{[math]}$ i $\text{[math]}$ to $\text{[math]}$

Narzędzia
Obiekty: Wielościany
Słowa kluczowe
Kategoria: Stereometria

Numerowanie»Zadanie 3

o zadaniu...

Zadanie pochodzi z artykułu Numerowanie
Publikacja w Delcie: kwiecień 2011
Publikacja elektroniczna: 31-03-2011
Artykuł źródłowy w wersji do druku [application/pdf]: (109 KB)
Zadanie pochodzi z broszury Przed konkursem matematycznym Stowarzyszenia na rzecz Edukacji Matematycznej (Wyd. Szkolne Omega, Kraków 2010).

Ośmiościan foremny: 8 ścian, 12 krawędzi i 6 wierzchołków.

Rozstrzygnij, czy liczby $\text{[math]}$ można rozstawić w wierzchołkach i na środkach krawędzi ośmiościanu foremnego, tak aby każda liczba na krawędzi ośmiościanu była średnią arytmetyczną liczb na jej końcach.

Rozwiązanie

Nie można. Liczby we wszystkich wierzchołkach muszą być tej samej parzystości, aby dla każdej krawędzi liczba umieszczona na jej środku była całkowita. Liczba 1 nie jest średnią arytmetyczną żadnych liczb większych od niej, zatem musi stać w wierzchołku, podobnie liczba 18. Nie są one jednak tej samej parzystości.

Narzędzia
Obiekty: Wielościany
Słowa kluczowe
Kategoria: Stereometria

Numerowanie»Zadanie 4

o zadaniu...

Zadanie pochodzi z artykułu Numerowanie
Publikacja w Delcie: kwiecień 2011
Publikacja elektroniczna: 31-03-2011
Artykuł źródłowy w wersji do druku [application/pdf]: (109 KB)
Zadanie pochodzi z broszury Przed konkursem matematycznym Stowarzyszenia na rzecz Edukacji Matematycznej (Wyd. Szkolne Omega, Kraków 2010).

Na każdej ścianie sześcianu zapisano dodatnią liczbę całkowitą, a w każdym wierzchołku iloczyn liczb występujących na trzech ścianach z danym wierzchołkiem. Suma wszystkich liczb zapisanych w wierzchołkach tego sześcianu jest równa 2009. Jaka jest suma liczb zapisanych na jego ścianach?

Rozwiązanie

Oznaczmy przez $\text{[math]}$ i $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ i $\text{[math]}$ oraz $\text{[math]}$ i $\text{[math]}$ liczby zapisane na parach przeciwległych ścian sześcianu. Zauważmy, że w każdym wierzchołku występuje inny spośród ośmiu możliwych iloczynów $\text{[math]}$ gdzie $\text{[math]}$ Suma liczb w wierzchołkach jest więc sumą tych ośmiu iloczynów i można ją zapisać jako

display-math

Liczby 7 i 41 są pierwsze, a sumy w nawiasach po lewej stronie większe od 1, więc

display-math

Narzędzia
Obiekty: Wielościany
Słowa kluczowe
Kategoria: Stereometria

Numerowanie»Zadanie 5

o zadaniu...

Zadanie olimpijskie: XLV Olimpiada Matematyczna.
Zadanie pochodzi z artykułu Numerowanie
Publikacja w Delcie: kwiecień 2011
Publikacja elektroniczna: 31-03-2011
Artykuł źródłowy w wersji do druku [application/pdf]: (109 KB)

Każdemu wierzchołkowi sześcianu przyporządkowano liczbę 1 lub $\text{[math]}$ a każdej ścianie – iloczyn liczb przyporządkowanych wierzchołkom tej ściany. Wyznacz zbiór wartości, które może przyjąć suma 14 liczb przyporządkowanych ścianom i wierzchołkom.

Wskazówka

Jak zmieni się wartość sumy, gdy zmienimy znak liczby w jednym z wierzchołków?

Obiekty: Bryły; Wielościany; Całki; Chaos; Fraktale; Ciągi liczbowe; Figury; Okręgi; Wielokąty; Funkcje; Grafy; Grupy; Gry; Konstrukcje; Krzywe; Liczby; Liczby naturalne; Liczby pierwsze; Liczby rzeczywiste; Liczby wymierne; Liczby zespolone; Losowość; Miary; Modele; Nierówności; Pochodne; Podzielność; Powierzchnie; Przekształcenia; Przestrzenie; Rachunki; Równania; Rozmaitości; Strategie; Szeregi liczbowe; Sztuczna inteligencja; Szyfrowanie; Węzły; Wielokąty; Wielomiany; Zbiory

Narzędzia: Indukcja; Jednokładności