Przeskocz do treści

Delta mi!

Drobiazgi

Brzydka prawda

Marek Kordos

Wielościan wypukły, którego ściany są jednakowymi wielokątami foremnymi, może mieć ściany trójkątne, czworokątne lub pięciokątne. Ostatnie dwa przypadki realizują się tylko w postaci sześcianu i dwunastościanu...

Pozostałe trzy wielościany foremne reprezentują pierwszy przypadek (czworościan, ośmiościan i dwudziestościan), ale nie są one jedynymi wielościanami wypukłymi, których ściany są trójkątami równobocznymi - np. "górna" i "dolna" piątka ścian dwudziestościanu składa się na dziesięciościan przypominający dysk.

Oznaczmy przez w liczbę wszystkich wierzchołków wielościanu, w | - liczbę tych wierzchołków, w których zbiega się iścian (oczywiście i = 3,4 lub |5 ), przez k liczbę krawędzi i przez s liczbę ścian.

Aby znaleźć wszystkie takie wielościany, można rozumować tak:

3s = 2k = 3w3

bo każda ściana ma trzy krawędzie, a każda krawędź należy do dwóch ścian, a także łączy dwa wierzchołki. Ponieważ na dodatek |w więc wstawiając to do wzoru Eulera: |w dla wygody pomnożonego przez 6, otrzymujemy

6(w3

czyli

3w3

To równanie ma 19 rozwiązań w liczbach naturalnych: 4,0,0 ; 3,1,1; 3,0,3; 2,3,0 ; 2,2,2; 2,1,4; 2,0,6; 1,4,1; 1,3,3; 1,2,5; 1,1,7; 1,0,9; 0,6,0 ; 0,5,2 ; 0,4,4 ; 0,3,6 ; 0,2,8 ; 0,1,10; 0,0,12 .

Niestety, tylko osiem z nich (zaznaczone są kolorem) odpowiada wielościanowi wypukłemu (te grubszą czcionką to foremne).

I tu jest miejsce na zwrot brzydka prawda: fakt ten nosi dumną nazwę twierdzenie Freudenthala-van der Waerdena, ale mimo naturalnej materii, jakiej dotyczy, nie ma dotąd naturalnego i eleganckiego dowodu.

Więc może któryś z Czytelników?

Loading...