Deltoid

Panaceum?

W rozwiązaniach wielu zadań kluczowe jest rozłożenie danej bryły tak, by uzyskać jej siatkę. Jeśli z kolei chcemy zbudować model wielościanu, często rysujemy jego siatkę, wycinamy, składamy... Siatki to przydatne narzędzie, jednakże - jak to z narzędziami bywa - trzeba ostrożnie się nimi posługiwać. Proszę ocenić poprawność poniższych trzech stwierdzeń.

To nie koniec kłopotów z siatkami. Jeśli model wielościanu rozcinamy wzdłuż pewnych krawędzi, by uzyskać jego siatkę, może nas spotkać niespodzianka przedstawiona na rysunku 1 - siatka nachodzi sama na siebie! Nie da się jej narysować na kartce, wyciąć i złożyć. Ale łatwo ją poprawić: odciąć lewą ścianę i przykleić wzdłuż którejś z jej pozostałych krawędzi.

Czy zawsze, gdy otrzymamy siatkę, która sama na siebie nachodzi, istnieje inna siatka, pozbawiona tej wady?

Rysunek 2 przedstawia powierzchnię z brzegiem. Rozcięcie jednej krawędzi pozwala ją "rozpłaszczyć", ale nachodzi wtedy sama na siebie, gdyż suma kątów płaskich przy jej centralnym wierzchołku przekracza $○ 360 .$ Rozcięcie drugiej krawędzi sprawia, że powierzchnia rozpada się na dwie części. Nie istnieje więc żadna jej siatka, która nie nachodziłaby sama na siebie.

Istnieją również wielościany o tej własności. Wszystkie znane przykłady są wklęsłe. Nie wiadomo, czy istnieje taki wielościan wypukły - problem ten, zwany hipotezą Shepharda, jest (o ile wiem) otwarty.