Kącik przestrzenny

O pożytku ze sfery wpisanej

W tym kąciku chcielibyśmy powrócić do pewnych własności sfery wpisanej w czworościan, o których pisaliśmy w kąciku 2 o najmocniejszym twierdzeniu stereometrii (Delta 3/2010). Okazuje się, że można je wykorzystać do udowodnienia faktów pozornie niezwiązanych ze sferą wpisaną.

Przypomnijmy więc główne twierdzenie:

Twierdzenie 1. Dana jest sfera $\text{[math]}$ i punkty $\text{[math]}$ i $\text{[math]}$ takie, że prosta $\text{[math]}$ jest rozłączna ze sferą $\text{[math]}$ Prowadzimy dwie płaszczyzny przechodzące przez punkty $\text{[math]}$ i $\text{[math]}$ styczne do sfery $\text{[math]}$ w punktach $\text{[math]}$ i $\text{[math]}$ (Rys. 1). Wówczas trójkąty $\text{[math]}$ i $\text{[math]}$ są przystające.

W kąciku 8 (Delta 6/2011) udowodniliśmy następujące twierdzenie:

Twierdzenie 2. W dowolnym czworościanie $\text{[math]}$ zachodzi nierówność

display-math

Teraz zaprezentujemy inny dowód, wykorzystujący własności sfery wpisanej.

Dowód. Niech $\text{[math]}$ będą punktami styczności sfery wpisanej w czworościan $\text{[math]}$ odpowiednio ze ścianami $\text{[math]}$ (Rys. 2). Na mocy twierdzenia 1 trójkąty $\text{[math]}$ i $\text{[math]}$ są przystające, skąd $\text{[math]}$ Analogicznie dostajemy

display-math

Wystarczy jeszcze zauważyć, że

display-math

Ta metoda nie wymaga rozważenia oddzielnie dwóch przypadków, jak dowód przeprowadzony w kąciku 8. Czytelnika Odważnego zaś zainteresuje fakt, że można w ten sposób udowodnić odpowiedniki twierdzenia 2 w wyższych wymiarach. Podobnie można uzasadnić inne ciekawe twierdzenie dotyczące czworościanu.

Twierdzenie 3. W dowolnym czworościanie pole każdej ściany jest mniejsze od sumy pól trzech pozostałych ścian.

Twierdzenie to jest odpowiednikiem nierówności trójkąta dla czworościanu. Zazwyczaj dowodzi się go poprzez zrzutowanie jednego z wierzchołków na płaszczyznę zawierającą przeciwległą ścianę i wykorzystanie faktu, że pole rzutu ściany nie przekracza pola ściany. Wykorzystanie najmocniejszego twierdzenia stereometrii pozwala przedstawić znacznie prostsze i zgrabniejsze uzasadnienie.

Dowód. Należy wykazać, że w czworościanie $\text{[math]}$ pole ściany $\text{[math]}$ jest mniejsze od sumy pól trzech pozostałych ścian. Oznaczmy przez $\text{[math]}$ punkty styczności sfery wpisanej w czworościan $\text{[math]}$ odpowiednio ze ścianami $\text{[math]}$ (Rys. 3). Z twierdzenia 1 wynika, że trójkąty $\text{[math]}$ i $\text{[math]}$ są przystające, a więc mają równe pola. Podobnie dowodzimy równości pól

display-math

Ponieważ punkty $\text{[math]}$ leżą wewnątrz ścian czworościanu, to zachodzą nierówności

display-math

Zatem

$pict$

Na koniec jedno zadanie dla Czytelników.