Kącik przestrzenny
O sumie długości krawędzi czworościanu

Rys. 1

Rys. 2
Fakt. Jeśli na płaszczyźnie wewnątrz trójkąta
znajduje się
trójkąt
to obwód trójkąta
jest nie większy od
obwodu trójkąta
Pomysł, na którym opiera się dowód tego faktu, został przedstawiony na
rysunku 1. W podobny sposób można udowodnić, że jeśli czworościan
znajduje się wewnątrz czworościanu
to jego pole
powierzchni jest mniejsze od pola powierzchni
A co umiemy
powiedzieć o sumie długości krawędzi?
Jeśli czworościan
jest foremny, to jego krawędzie mają długości
nie mniejsze od długości krawędzi czworościanu
W takim
razie suma długości krawędzi czworościanu
jest nie mniejsza od
sumy długości krawędzi czworościanu
Jednak w ogólności
nie musi tak być.
Rozważmy mianowicie ostrosłup prawidłowy
o podstawie
która ma boki długości
i ramionach długości
(Rys. 2). Umieśćmy wewnątrz niego czworościan
w taki
sposób, że wierzchołek
jest blisko
– blisko
zaś
i
blisko wierzchołka
Wtedy
suma krawędzi ostrosłupa
jest równa
zaś
suma krawędzi czworościanu
jest większa od sumy
która może być dowolnie bliska
Jeśli
więc weźmiemy
znacznie większe niż
to suma długości
krawędzi czworościanu
będzie większa od sumy długości
krawędzi czworościanu
Widzimy zatem, że podany na początku fakt nie przenosi się z płaszczyzny na
przestrzeń. Jednak w obu powyższych przykładach suma długości krawędzi
czworościanu
nie przekracza
sumy długości
krawędzi czworościanu
I właśnie to spostrzeżenie
udowodnimy:
Twierdzenie. Jeśli czworościan
jest zawarty wewnątrz
czworościanu
to suma długości jego krawędzi jest nie
większa od
sumy długości krawędzi czworościanu
Powyższy problem był jednym z zadań na finale olimpiady w ZSRR w 1982 roku. Dowód podzielimy na kilka podproblemów. Dalej podajemy rozwiązania, ale zachęcamy do samodzielnej pracy.

Rys. 3

Rys. 4

Rys. 5
Krok 1. Załóżmy bez straty dla ogólności, że
jest ścianą
o największym obwodzie. Wtedy suma długości krawędzi czworościanu
nie przekracza dwukrotności obwodu trójkąta
Krok 2. Załóżmy, że
jest obwodem wielokąta będącego przekrojem
czworościanu
płaszczyzną
Wtedy obwód trójkąta
nie przekracza
Krok 3. Niech
będą odpowiednio rzutami prostokątnymi
punktów
na płaszczyznę
Wtedy suma długości
wszystkich odcinków łączących punkty
jest nie mniejsza
niż
(Ten fragment dowodu jest najtrudniejszy.)
Krok 4. Suma długości odcinków łączących punkty
jest nie
większa niż suma długości krawędzi czworościanu
Rozwiązania
Krok 1. Suma długości krawędzi czworościanu
jest równa
połowie sumy obwodów wszystkich czterech jego ścian. Ta ostatnia zaś nie
może przekraczać dwukrotności obwodu ściany o największym
obwodzie.
Krok 2. Pomysł przedstawiony na rysunku 1 działa i w tej sytuacji.

Rys. 6
Krok 3. Załóżmy najpierw, że punkty
są wierzchołkami
czworokąta wypukłego. (Oczywiście punkty te mogą leżeć na obwodzie
czworokąta w różnej kolejności!) Rozważany przekrój czworościanu jest
wypukły i leży wewnątrz tego czworokąta (Rys. 4 i 5). Zatem
nie
może przekraczać obwodu czworokąta o wierzchołkach
(dowód jak na rysunku 1). Ponadto z nierówności trójkąta wiemy, że suma
długości przekątnych czworokąta wypukłego jest większa od połowy jego
obwodu. Łącząc te dwie nierówności, dostajemy

Przyjmijmy teraz, że jeden z tych punktów (np.
) leży wewnątrz lub
na brzegu trójkąta wyznaczonego przez pozostałe punkty. Podobnie
stwierdzamy, że rozważany przekrój jest wypukły i leży wewnątrz tego
trójkąta (Rys. 6). Zatem

Z nierówności trójkąta otrzymujemy

I tym razem te dwie nierówności dają żądane oszacowanie.
Krok 4. Wynika to natychmiast z faktu, że długość odcinka nie może być mniejsza niż długość jego rzutu prostokątnego na dowolną płaszczyznę.