Rys. 1

Rys. 2

Pomysł, na którym opiera się dowód tego faktu, został przedstawiony na rysunku 1. W podobny sposób można udowodnić, że jeśli czworościan  znajduje się wewnątrz czworościanu  to jego pole powierzchni jest mniejsze od pola powierzchni  A co umiemy powiedzieć o sumie długości krawędzi?

Jeśli czworościan  jest foremny, to jego krawędzie mają długości nie mniejsze od długości krawędzi czworościanu  W takim razie suma długości krawędzi czworościanu  jest nie mniejsza od sumy długości krawędzi czworościanu  Jednak w ogólności nie musi tak być.

Rozważmy mianowicie ostrosłup prawidłowy  o podstawie  która ma boki długości  i ramionach długości (Rys. 2). Umieśćmy wewnątrz niego czworościan  w taki sposób, że wierzchołek  jest blisko – blisko  zaś  i   blisko wierzchołka  Wtedy suma krawędzi ostrosłupa  jest równa  zaś suma krawędzi czworościanu  jest większa od sumy  która może być dowolnie bliska  Jeśli więc weźmiemy  znacznie większe niż  to suma długości krawędzi czworościanu  będzie większa od sumy długości krawędzi czworościanu

Widzimy zatem, że podany na początku fakt nie przenosi się z płaszczyzny na przestrzeń. Jednak w obu powyższych przykładach suma długości krawędzi czworościanu  nie przekracza  sumy długości krawędzi czworościanu  I właśnie to spostrzeżenie udowodnimy:

Powyższy problem był jednym z zadań na finale olimpiady w ZSRR w 1982 roku. Dowód podzielimy na kilka podproblemów. Dalej podajemy rozwiązania, ale zachęcamy do samodzielnej pracy.

Rys. 3

Rys. 4

Rys. 5

Krok 1. Załóżmy bez straty dla ogólności, że  jest ścianą o największym obwodzie. Wtedy suma długości krawędzi czworościanu  nie przekracza dwukrotności obwodu trójkąta

Krok 2. Załóżmy, że  jest obwodem wielokąta będącego przekrojem czworościanu  płaszczyzną  Wtedy obwód trójkąta  nie przekracza

Krok 3. Niech  będą odpowiednio rzutami prostokątnymi punktów  na płaszczyznę  Wtedy suma długości wszystkich odcinków łączących punkty  jest nie mniejsza niż (Ten fragment dowodu jest najtrudniejszy.)

Krok 4. Suma długości odcinków łączących punkty  jest nie większa niż suma długości krawędzi czworościanu

Rozwiązania

Krok 1. Suma długości krawędzi czworościanu  jest równa połowie sumy obwodów wszystkich czterech jego ścian. Ta ostatnia zaś nie może przekraczać dwukrotności obwodu ściany o największym obwodzie.

Krok 2. Pomysł przedstawiony na rysunku 1 działa i w tej sytuacji.

Rys. 6

Krok 3. Załóżmy najpierw, że punkty  są wierzchołkami czworokąta wypukłego. (Oczywiście punkty te mogą leżeć na obwodzie czworokąta w różnej kolejności!) Rozważany przekrój czworościanu jest wypukły i leży wewnątrz tego czworokąta (Rys. 4 i 5). Zatem  nie może przekraczać obwodu czworokąta o wierzchołkach (dowód jak na rysunku 1). Ponadto z nierówności trójkąta wiemy, że suma długości przekątnych czworokąta wypukłego jest większa od połowy jego obwodu. Łącząc te dwie nierówności, dostajemy

Przyjmijmy teraz, że jeden z tych punktów (np. ) leży wewnątrz lub na brzegu trójkąta wyznaczonego przez pozostałe punkty. Podobnie stwierdzamy, że rozważany przekrój jest wypukły i leży wewnątrz tego trójkąta (Rys. 6). Zatem

Z nierówności trójkąta otrzymujemy

I tym razem te dwie nierówności dają żądane oszacowanie.

Krok 4. Wynika to natychmiast z faktu, że długość odcinka nie może być mniejsza niż długość jego rzutu prostokątnego na dowolną płaszczyznę.