Lekcja rysunku
Mała Delta
Lekcja 1 - Stella octangula
Wydaje się, że w czasach szybkich komputerów, programów graficznych i innych gadżetów nie ma sensu zajmowanie się rysunkiem odręcznym. Równie dobrze jednak można by zrezygnować z nauki pisania i tabliczki mnożenia – są przecież odpowiednie edytory i kalkulatory. Zdarza się jednak, że rozwiązując jakieś zadanie, dobrze byłoby podeprzeć naszą wyobraźnię właśnie rysunkiem, a nie ma pod ręką supernowoczesnych narzędzi.
Oto pierwsza lekcja
Niemal każdy nauczyciel matematyki wie, że odpowiedni rysunek do zadania z geometrii to często ponad połowa sukcesu przy rozwiązaniu. Gdy jednak trzeba narysować choćby trójkąt wpisany w okrąg, to można usłyszeć o braku zdolności rysunkowych. A przecież wykonanie nawet pozornie zawiłego rysunku nie musi być trudne. Wystarczy pamiętać, że rysunek jest to skończony ciąg kresek prowadzonych w odpowiedniej kolejności.
Zacznijmy od rysunku czworościanu. Z tym na pewno nie ma problemu. Najpierw rysujemy trójkąt (Rys. 1), potem wybieramy punkt (Rys. 2), najczęściej na zewnątrz trójkąta (choć czasem potrzebny jest taki punkt wewnątrz), i łączymy go z wierzchołkami trójkąta (Rys. 3). To wie niemal każdy.
Rys. 1 |
Rys. 2a |
Rys. 2b |
Rys. 3a |
Rys. 2b |
A gdyby tak spróbować narysować czworościan stojący nie na solidnej podstawie, tylko na krawędzi? Dla specjalisty to nic trudnego, jednak wydaje się, że bez wprawy nie jest łatwo wykonać poprawny rysunek. Jest jednak sposób, żeby narysować to prosto. Najpierw szkicujemy pomocniczo sześcian – z tym chyba też nie ma problemu (Rys. 4). Rysując go, pamiętajmy, żeby krawędzie idące w głąb nie były równoległe do przekątnych ściany przedniej. Na ścianach równoległych (górnej i dolnej) naszkicujmy przekątne prostopadłe (Rys. 5).
Rys. 4a |
Rys. 4b |
Rys. 5a |
Końce tych przekątnych są wierzchołkami poszukiwanego czworościanu, a przekątne – jego krawędziami. Wystarczy teraz tylko połączyć te wierzchołki każdy z każdym (Rys. 6). Czworościan, stojący na krawędzi, gotowy. Ponadto, powinien to być czworościan foremny (przynajmniej teoretycznie) – prawda?
Rys. 6 |
Rys. 7 |
Rys. 8 |
Widzimy też, że w sześcianie są dwa takie czworościany („ten drugi” jest na rysunku 7). Możemy je narysować jednocześnie (Rys. 8) – po prostu zaznaczamy przekątne wszystkich ścian. Dobrze jest jeszcze zaznaczyć wspólne linie – są to odcinki łączące środki sąsiednich ścian sześcianu (Rys. 9).
Rys. 9 |
Rys. 10 |
Rys. 11 |
W ten sposób dostaliśmy gwiazdę ośmioramienną (stella octangula), kompozycję dwóch czworościanów foremnych. Dla lepszego efektu można odpowiednio pokolorować widoczne ściany, czyli „zapomnieć” o sześcianie, z którego stella powstała (Rys. 10). Jeśli całą procedurę powtórzymy w nieco przekręconym sześcianie, to otrzymamy gwiazdę obróconą – w innej perspektywie (Rys. 11).