Rys. 1

O trudnych zadaniach i efektownych rozwiązaniach, w których ma ono swój udział, można by długo pisać, ale tym razem spojrzymy na nie od innej strony: ciekawe, czy istnieje jego odpowiednik w geometrii przestrzennej?

Żeby otrzymać podobną zależność dla czworościanu, należałoby pewnie wziąć płaszczyznę dwusieczną kąta dwuściennego i jej punkt przecięcia z przeciwległą krawędzią. Stosunek długości odcinków, na które dzieli ją ta płaszczyzna, powinien być równy... no właśnie, czemu?

Weźmy jakiś szczególny czworościan i sprawdźmy, co dla niego wychodzi. Na przykład, co się dzieje dla czworościanu foremnego?

W tym przypadku dwusieczna kąta dwuściennego dzieli czworościan na symetryczne części i ten stosunek jest równy  Wydaje się, że podobnie jak dla trójkąta, powinniśmy umieć zapisać ten stosunek jako iloraz dwóch wielkości zależnych od ścian wybranego kąta dwuściennego. Niestety, pierwszy przykład wygląda na zbyt szczególny, ponieważ każdy ze stosunków: pól, obwodów, wysokości, krawędzi wychodzących z tego samego wierzchołka jest także równy  Trzeba pomyśleć nad lepszym przykładem do testowania.

Rys. 2a

Rys. 2b

Spróbujmy może wziąć taki czworościan  aby spodek wysokości poprowadzonej z wierzchołka  na podstawę  pokrywał się z punktem  (inaczej mówiąc, krawędź  ma być prostopadła do ściany ), i popatrzeć na płaszczyznę dwusieczną kąta dwuściennego przy krawędzi  (Rys. 2a).

Dlaczego to dobry przykład? Widzimy, że część wspólna płaszczyzny dwusiecznej kąta dwuściennego przy krawędzi  z płaszczyzną  jest dwusieczną kąta  czyli na podstawie  mamy narysowaną sytuację z płaskiej wersji twierdzenia o dwusiecznej (Rys. 2b).

A dlaczego tak jest? Zauważmy, że płaszczyzna dwusieczna dzieli kąt dwuścienny na połowy. Kąt dwuścienny zaś jest równy kątowi płaskiemu utworzonemu przez dwie proste leżące w półpłaszczyznach go ograniczających i prostopadłe do wspólnej krawędzi. Wybraliśmy czworościan tak, żeby prosta  była prostopadła do płaszczyzny  a więc w szczególności do prostych  i  To oznacza, że proste  i  tworzą kąt płaski równy kątowi dwuściennemu między wybranymi ścianami.

Teraz, jeśli przez  oznaczymy punkt przecięcia płaszczyzny dwusiecznej kąta dwuściennego przy krawędzi  z krawędzią  to na mocy twierdzenia o dwusiecznej mamy

Możemy zatem stąd podejrzewać, że chodzi o stosunek pól ścian tworzących kąt dwuścienny. Albo stosunek wysokości opuszczonych na wspólną krawędź – czy widzisz, Czytelniku, że to ta sama liczba?

Czyli udowodniliśmy już pierwszy ciekawy przypadek rozszerzonego twierdzenia:

Wydaje się, że takie twierdzenie może być prawdziwe dla dowolnego czworościanu, ale czy potrafimy to jakoś udowodnić?

Moglibyśmy złożyć dwa czworościany, które mają taką samą podstawę i które spełniają założenia opracowanego już szczególnego przypadku. Dokładniej, wysokości opuszczone na te ściany, które będziemy sklejać, muszą być krawędziami czworościanu.

Rys. 3

Czworościan  możemy w ten sposób skleić z dwóch mniejszych, gdy da się skonstruować płaszczyznę zawierającą pewną krawędź i prostopadłą do krawędzi przeciwległej. Na rysunku 3 widać płaszczyznę zawierającą krawędź  i prostopadłą do krawędzi  Punkt  to punkt przecięcia tej płaszczyzny z krawędzią

W tej sytuacji, korzystając ze szczególnego przypadku twierdzenia dla czworościanów  i  mamy

ponieważ odcinki  i  są prostopadłe do krawędzi  Co ciekawe, punkt  może leżeć też poza odcinkiem  – wtedy można powiedzieć, że odejmujemy czworościany, zamiast je dodawać.

Niestety, to jeszcze nie wszystko. Istnieją czworościany  których nie można w ten sposób skleić – spodki wysokości poprowadzonych z wierzchołków  i  na prostą  nie pokrywają się. Co wtedy?

Rys. 4

Spróbujmy narysować sytuację dla dowolnego czworościanu (Rys. 4). Niech  i  będą rzutami prostokątnymi odpowiednio wierzchołków  i  na prostą  Umiemy już udowodnić twierdzenie w przypadku, gdy punkty  i  się pokrywają. Ogólnie jednak nie musi tak być, więc nie mamy trójkąta, dla którego można by zastosować twierdzenie o dwusiecznej.

Skąd wziąć taki trójkąt? Może coś przesunąć tak, żeby punkty  i  trafiły w jedno miejsce? Wyobraźmy sobie przesunięcie równoległe odcinka  wzdłuż prostej  tak, żeby  pokrył się z  Niech  będzie obrazem punktu  w tym przesunięciu.

Wtedy punkt  jest rzutem prostokątnym punktu  na prostą  czyli czworościan  da się skleić z dwóch „ładniejszych”, tak jak to robiliśmy przed chwilą! To znaczy, że jeśli płaszczyzna dwusieczna kąta dwuściennego przy krawędzi  przecina krawędź  w punkcie  to

A ponieważ przesuwaliśmy punkt  równolegle do  to  i   Gdybyśmy jeszcze wykazali, że

czyli inaczej, że proste  i  są równoległe, to otrzymalibyśmy pełną wersję twierdzenia. Na szczęście to już jest łatwe: skoro odcinki  i  są równoległe, to każda płaszczyzna zawierająca prostą  przecina płaszczyznę  wzdłuż pewnej prostej równoległej do  Zaraz, czy na pewno? Tak – gdyby proste  i  miały jakiś punkt wspólny  to płaszczyzna dwusieczna kąta dwuściennego przy krawędzi  miałaby trzy punkty wspólne z płaszczyzną : punkty    oraz  Wobec tego nie mamy już żadnych wątpliwości, że