Deltoid

Postaw na krawędzi!

Delta, luty 2014

o artykule ...

Publikacja w Delcie: luty 2014
Publikacja elektroniczna: 31-01-2014
Wersja do druku [application/pdf]: (51 KB)

Postawmy czworościan na krawędzi i przez każdą jego krawędź poprowadźmy płaszczyznę równoległą do przeciwległej krawędzi. Takich sześć płaszczyzn wyznacza równoległościan opisany na czworościanie.

Również na odwrót, wybierając cztery wierzchołki dowolnego równoległościanu tak, by żadne dwa nie były połączone krawędzią, otrzymamy czworościan wpisany. Pozostałe cztery wierzchołki wyznaczają przystający czworościan, symetryczny względem środka równoległościanu.

Czworościan wpisany można uzyskać z równoległościanu, odcinając od niego cztery przystające naroża; podstawą każdego z nich jest połowa podstawy równoległościanu, a wysokością – wysokość równoległościanu. Stąd objętość czworościanu wpisanego równa jest $\text{[math]}$ objętości równoległościanu.

Narzędzia
Obiekty: Wielościany
Słowa kluczowe
Kategoria: Stereometria

Postaw na krawędzi!»Zadanie 1

o zadaniu...

Zadanie pochodzi z artykułu Postaw na krawędzi!
Publikacja w Delcie: luty 2014
Publikacja elektroniczna: 31-01-2014
Artykuł źródłowy w wersji do druku [application/pdf]: (51 KB)
Zadania pochodzi z Obozu Naukowego po VIII Olimpiadzie Matematycznej Gimnazjalistów

Dany jest czworościan foremny o krawędzi 1 oraz punkt $\text{[math]}$ w jego wnętrzu. Suma odległości punktu $\text{[math]}$ od krawędzi tego czworościanu jest równa $\text{[math]}$ Wykaż, że $\text{[math]}$

Rozwiązanie

Równoległościanem opisanym na czworościanie foremnym o krawędzi 1 jest sześcian o krawędzi $\text{[math]}$

Suma odległości punktu $\text{[math]}$ od dwóch przeciwległych krawędzi czworościanu jest nie mniejsza od sumy odległości $\text{[math]}$ od zawierających je przeciwległych ścian sześcianu, która z kolei jest większa lub równa odległości pomiędzy takimi ścianami, czyli długości krawędzi sześcianu. Czworościan ma trzy pary przeciwległych krawędzi, stąd $\text{[math]}$

Narzędzia
Obiekty: Wielościany
Słowa kluczowe
Kategoria: Stereometria

Postaw na krawędzi!»Zadanie 2

o zadaniu...

Zadanie olimpijskie: XLII OM
Zadanie pochodzi z artykułu Postaw na krawędzi!
Publikacja w Delcie: luty 2014
Publikacja elektroniczna: 31-01-2014
Artykuł źródłowy w wersji do druku [application/pdf]: (51 KB)

Czy istnieją czworościany $\text{[math]}$ i $\text{[math]}$ o następujących dwóch własnościach:

a): objętość czworościanu $\text{[math]}$ jest większa od objętości czworościanu $\text{[math]}$ ;
b): pole każdej ściany czworościanu $\text{[math]}$ nie przekracza pola żadnej ściany czworościanu $\text{[math]}$

Rozwiązanie

Tak, dla każdego czworościanu $\text{[math]}$ zbudujemy czworościan $\text{[math]}$ o żądanych własnościach. Niech $\text{[math]}$ będzie taką liczbą, aby liczba $\text{[math]}$ była większa od pola każdej ściany czworościanu $\text{[math]}$ Niech $\text{[math]}$ będzie taką liczbą, aby liczba $\text{[math]}$ była mniejsza od objętości czworościanu $\text{[math]}$

Niech $\text{[math]}$ będzie czworościanem wpisanym w prostopadłościan o podstawie $\text{[math]}$ i wysokości $\text{[math]}$ Objętość $\text{[math]}$ równa jest $\text{[math]}$ Każdą ścianę czworościanu $\text{[math]}$ można zrzutować na połowę podstawy prostopadłościanu, więc jej pole przekracza $\text{[math]}$ Z definicji liczb $\text{[math]}$ i $\text{[math]}$ czworościany $\text{[math]}$ i $\text{[math]}$ spełniają żądane warunki.

Narzędzia
Obiekty: Wielościany
Słowa kluczowe
Kategoria: Stereometria

Postaw na krawędzi!»Zadanie 3

o zadaniu...

Zadanie olimpijskie: XLIV OM.
Zadanie pochodzi z artykułu Postaw na krawędzi!
Publikacja w Delcie: luty 2014
Publikacja elektroniczna: 31-01-2014
Artykuł źródłowy w wersji do druku [application/pdf]: (51 KB)

Rozstrzygnij, czy można obliczyć objętość czworościanu, znając pola jego czterech ścian oraz promień kuli opisanej.

Rozwiązanie

Wykażemy, że nie można. Rozważmy czworościany $\text{[math]}$ i $\text{[math]}$ wpisane odpowiednio w prostopadłościany o wymiarach $\text{[math]}$ oraz $\text{[math]}$

Promienie opisanych na nich kul to połowy głównych przekątnych prostopadłościanów, więc są one równe: $\text{[math]}$ oraz $\text{[math]}$

Z twierdzenia Pitagorasa, każda ściana czworościanu $\text{[math]}$ jest trójkątem o bokach $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ oraz $\text{[math]}$ Wysokość takiego trójkąta, opuszczona na bok o długości $\text{[math]}$ równa jest

display-math

Stąd pole każdej ze ścian czworościanu $\text{[math]}$ równe jest

display-math

Analogicznie pole każdej ściany czworościanu $\text{[math]}$ też równe jest $\text{[math]}$

Czworościany $\text{[math]}$ i $\text{[math]}$ mają więc równe pola ścian i promienie kul opisanych. Tymczasem ich objętości są różne: $\text{[math]}$ oraz $\text{[math]}$

Zadania domowe

Narzędzia
Obiekty: Wielościany
Słowa kluczowe
Kategoria: Stereometria

Postaw na krawędzi!»Zadanie 4

o zadaniu...

Zadanie pochodzi z artykułu Postaw na krawędzi!
Publikacja w Delcie: luty 2014
Publikacja elektroniczna: 31-01-2014
Artykuł źródłowy w wersji do druku [application/pdf]: (51 KB)

Wyznacz promień kuli wpisanej w krawędzie czworościanu foremnego o objętości 1.

Narzędzia
Obiekty: Wielościany
Słowa kluczowe
Kategoria: Stereometria

Postaw na krawędzi!»Zadanie 5

o zadaniu...

Zadanie pochodzi z artykułu Postaw na krawędzi!
Publikacja w Delcie: luty 2014
Publikacja elektroniczna: 31-01-2014
Artykuł źródłowy w wersji do druku [application/pdf]: (51 KB)

Wykaż, że jeśli w pewnym czworościanie dwie pary przeciwległych krawędzi są prostopadłe, to również trzecia para jest prostopadła.

Wskazówka

Ściany równoległościanu opisanego są rombami.

Obiekty: Bryły; Wielościany; Całki; Chaos; Fraktale; Ciągi liczbowe; Figury; Okręgi; Wielokąty; Funkcje; Grafy; Grupy; Gry; Konstrukcje; Krzywe; Liczby; Liczby naturalne; Liczby pierwsze; Liczby rzeczywiste; Liczby wymierne; Liczby zespolone; Losowość; Miary; Modele; Nierówności; Pochodne; Podzielność; Powierzchnie; Przekształcenia; Przestrzenie; Rachunki; Równania; Rozmaitości; Strategie; Szeregi liczbowe; Sztuczna inteligencja; Szyfrowanie; Węzły; Wielokąty; Wielomiany; Zbiory

Narzędzia: Indukcja; Jednokładności