Deltoid

Przecięcia płaszczyzn

Joanna Jaszuńska

Delta, sierpień 2016

o artykule ...

Publikacja w Delcie: sierpień 2016
Publikacja elektroniczna: 31 lipca 2016

Dwie nierównoległe płaszczyzny przecinają się wzdłuż prostej. Ta niepozorna obserwacja bywa bardzo przydatna.

Narzędzia
Obiekty: Wielościany
Słowa kluczowe
Kategoria: Stereometria

Przecięcia płaszczyzn»Zadanie 1

o zadaniu...

Zadanie pochodzi z artykułu Przecięcia płaszczyzn
Publikacja w Delcie: sierpień 2016
Publikacja elektroniczna: 31 lipca 2016
Zadanie 1 pochodzi z gazetki Olimpiady Matematycznej Gimnazjalistów Kwadrat nr 7

Czy ten rysunek przedstawia wielościan?

Rozwiązanie

Przednia i tylna ściana danej figury mają wspólny wierzchołek, zatem nie są równoległe. Niech $|X$ i $Y |$ oznaczają odpowiednio punkty przecięcia prostych $|AB$ z $CD |$ oraz $BF |$ z $CG.$ Wówczas każdy z punktów $X, |$ należy do obu płaszczyzn rozważanych powyżej ścian, a więc też do ich wspólnej prostej. Jednak punkty $|X,$ nie są współliniowe, zatem rysunek nie przedstawia wielościanu.

Narzędzia
Obiekty: Wielościany
Słowa kluczowe
Kategoria: Stereometria

Przecięcia płaszczyzn»Zadanie 2

o zadaniu...

Zadanie pochodzi z artykułu Przecięcia płaszczyzn
Publikacja w Delcie: sierpień 2016
Publikacja elektroniczna: 31 lipca 2016

Czworościan $ABCD$ przecięto płaszczyzną, uzyskując w przekroju czworokąt $|KLMN.$ Na rysunku obok wyznacz punkt $N, |$ posługując się jedynie linijką.

Rozwiązanie

Oznaczmy przez $P |$ punkt przecięcia prostych $KL$ i $AC.$ Punkt ten leży w płaszczyźnie przekroju, zatem leży w niej też prosta $P M.$ Stąd brakujący punkt $|N$ to punkt przecięcia prostych $P | M$ i $AD.$

Narzędzia
Obiekty: Wielościany
Słowa kluczowe
Kategoria: Stereometria

Przecięcia płaszczyzn»Zadanie 3

o zadaniu...

Zadanie pochodzi z artykułu Przecięcia płaszczyzn
Publikacja w Delcie: sierpień 2016
Publikacja elektroniczna: 31 lipca 2016

W trapezie $|ABCD$ podstawa $AB |$ ma długość 2. Długości pozostałych boków tego trapezu są równe 1. Punkt $S |$ jest wierzchołkiem ostrosłupa o podstawie $|ABCD,$ w którym $SA |$ Wyznacz stosunek objętości tego ostrosłupa do objętości czworościanu foremnego o krawędzi 1.

Rozwiązanie

Niech $E$ będzie punktem przecięcia prostych $|AD$ i $BC.$ Z kształtu trapezu $|ABCD$ wynika, że $AE |$ oraz że jego pole to $3/4$ pola trójkąta $ABE.$

Z długości krawędzi trójkąta $BCS |$ wnioskujemy, że jest on połową trójkąta równobocznego o krawędzi 2. Ponieważ $SC |$ oraz $|BC$ więc $|SE = SB = 2.$

Stąd czworościan $ABES$ jest foremny o krawędzi 2. Jego objętość jest zatem 8-krotnie większa od objętości czworościanu foremnego o krawędzi 1, więc szukany stosunek objętości równy jest $8 |⋅3/4 = 6.$

Narzędzia
Obiekty: Wielościany
Słowa kluczowe
Kategoria: Stereometria

Przecięcia płaszczyzn»Zadanie 4

o zadaniu...

Zadanie olimpijskie: III Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów
Zadanie pochodzi z artykułu Przecięcia płaszczyzn
Publikacja w Delcie: sierpień 2016
Publikacja elektroniczna: 31 lipca 2016

Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny, którego każda krawędź ma długość 1. Ostrosłup ten przecięto płaszczyzną przecinającą jego wszystkie krawędzie boczne i uzyskano w przekroju czworokąt wypukły $ABCD$ nie będący trapezem. Proste $AB$ i $CD |$ przecinają się w punkcie $P .$ Wyznacz wszystkie wartości, jakie może przyjąć odległość punktu $|P$ od płaszczyzny podstawy ostrosłupa.

Rozwiązanie

Prosta $AB$ leży w płaszczyźnie przedniej ściany ostrosłupa z rysunku, a prosta $CD$ w płaszczyźnie tylnej ściany, więc punkt $|P$ należy do obydwu tych płaszczyzn. Ich częścią wspólną jest prosta równoległa do podstawy ostrosłupa (gdyż jest on prawidłowy) i przechodząca przez wierzchołek $S.$ Stąd jedyną wartością, jaką może przyjąć odległość punktu $|P$ od płaszczyzny podstawy, jest wysokość ostrosłupa równa $√ -- | 2/2.$

Narzędzia
Obiekty: Wielościany
Słowa kluczowe
Kategoria: Stereometria

Przecięcia płaszczyzn»Zadanie 5

o zadaniu...

Zadanie pochodzi z artykułu Przecięcia płaszczyzn
Publikacja w Delcie: sierpień 2016
Publikacja elektroniczna: 31 lipca 2016

Dany jest sześcian o podstawie $ABCD$ i krawędziach bocznych $|AA$ Wyznacz miarę kąta dwuściennego między płaszczyznami $′ABD$ i $. AB$

Rozwiązanie

Sześcian i jego widok wzdłuż przekątnej $AC$

Krawędzie $|AB$ i $′ C |$ są równoległe, leżą więc w jednej płaszczyźnie $′.ABD$ Stąd punkt $C$ też do niej należy; podobnie należy on także do $.AB$ Punkty $A,$ również leżą w jednej płaszczyźnie.

Powyższe trzy płaszczyzny mają wspólną prostą $|AC$ i każda z nich zawiera inną z trzech krawędzi wychodzących z wierzchołka $A. |$ Oznacza to, że płaszczyzny te tworzą równe kąty dwuścienne, czyli kąty po $|60○.$

Obiekty: Bryły; Wielościany; Całki; Chaos; Fraktale; Ciągi liczbowe; Figury; Okręgi; Wielokąty; Funkcje; Grafy; Grupy; Gry; Konstrukcje; Krzywe; Liczby; Liczby naturalne; Liczby pierwsze; Liczby rzeczywiste; Liczby wymierne; Liczby zespolone; Losowość; Miary; Modele; Nierówności; Pochodne; Podzielność; Powierzchnie; Przekształcenia; Przestrzenie; Rachunki; Równania; Rozmaitości; Strategie; Szeregi liczbowe; Sztuczna inteligencja; Szyfrowanie; Węzły; Wielokąty; Wielomiany; Zbiory

Narzędzia: Indukcja; Jednokładności