Delta mi!

Udowodnić, że punkty tworzą układ ortocentryczny, jeśli:

(a)

czworokąty i są rombami (kolejność wierzchołków niekoniecznie podana antyzegarowo);

(b)

przez punkt przechodzą trzy okręgi o jednakowych promieniach, a punkty i są różnymi od punktami przecięć tych okręgów;

(c)

punkt jest środkiem okręgu wpisanego w pewien trójkąt, a punkty i - środkami okręgów dopisanych do niego.

Punkt jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie Punkty i są symetryczne do punktu względem prostych odpowiednio i Dowieść, że punkt jest ortocentrum trójkąta

Czworokąt jest wpisany w okrąg. Punkty i są ortocentrami trójkątów odpowiednio i Udowodnić, że

Skonstruować za pomocą cyrkla i liniału ortocentrum danego trójkąta nieprostokątnego, wykonując tylko sześć ruchów elementarnych (ruch elementarny polega na wykreśleniu odcinka lub łuku).

Odcinki i są wysokościami trójkąta nieprostokątnego Punkty i są rzutami prostokątnymi punktów odpowiednio i na prostą Udowodnić, że

Wykres funkcji

Niech będzie dane wzorem Niech ponadto oraz będą dowolnymi niepustymi przedziałami (otwartymi lub domkniętymi jedno- lub obustronnie), których końce są liczbami niewymiernymi. Uzasadnić, że istnieje takie że gdzie oznacza -krotne złożenie funkcji

Uwaga: Zbiór pusty jest traktowany jako przedział, wobec tego założenie niepustego przedziału ma sens.

Niech będzie zbiorem skończonym. Udowodnić, że dowolna iniekcja jest bijekcją.

Niech będzie wielomianem -tego stopnia o współczynnikach całkowitych, mającym różnych pierwiastków całkowitych. Załóżmy, że 0 jest jednym z jego pierwiastków. Udowodnić, że wielomian również ma dokładnie różnych pierwiastków całkowitych.

Udowodnić, że dla każdej liczby naturalnej istnieją nieparzyste liczby spełniające równanie

Udowodnić, że piramida o podstawie kwadratu ułożona z kul armatnich składa się z kwadratowej liczby kul wtedy i tylko wtedy, gdy bok jej podstawy ma długość 24 kul.

"Kwadrat w Trójkącie".
W trójkącie równobocznym zawarty jest kwadrat o największym możliwym polu. Jaką część pola trójkąta zajmuje ten kwadrat?

"Sześcian w Dwudziestościanie".
W dwudziestościanie foremnym zawarty jest sześcian o największej możliwej objętości. Jaką część objętości dwudziestościanu zajmuje ten sześcian?

"P w Q".
W danym wielokącie wypukłym zawarty jest wielokąt o największym możliwym polu, podobny do danego wielokąta wypukłego Jaką część pola zajmuje ten wielokąt?

Na okręgu znajduje się punktów czarnych i białych. Rysujemy cięciw, z których każda ma jeden koniec biały a drugi czarny. Udowodnić, że można zrobić to tak, by każde dwie narysowane cięciwy przecinały się.

Z płytek w kształcie trójkąta równobocznego o boku 1 ułożono trójkąt równoboczny o boku Każda płytka jest z jednej strony czerwona, a z drugiej niebieska. Ruch polega na wykonaniu następujących czynności: wybieramy płytkę mającą wspólne boki z co najmniej dwiema płytkami, których widoczne strony mają kolor inny niż widoczna strona płytki Następnie odwracamy płytkę na drugą stronę. Czy ta zabawa może trwać bez końca?

Dana jest pewna skończona rodzina zbiorów skończonych, niekoniecznie rozłącznych. Każdy element każdego ze zbiorów tej rodziny jest czerwony lub niebieski. Ruch polega na wybraniu jednego ze zbiorów i zamianie koloru - czerwonego na niebieski, a niebieskiego na czerwony - wszystkich jego elementów. Udowodnić, że w skończonej liczbie ruchów można doprowadzić do tego, by każdy zbiór w tej rodzinie miał co najmniej tyle elementów niebieskich co czerwonych.

Mamy dany wielokąt wklęsły. Ruch polega na wyborze przekątnej leżącej na zewnątrz tego wielokąta, przy czym cały wielokąt poza punktami i musi leżeć po jednej stronie prostej Następnie jedną z łamanych, na które punkty i dzielą brzeg wielokąta, odbijamy środkowosymetrycznie względem środka odcinka otrzymując nowy wielokąt. Dowieść, że po pewnej, skończonej liczbie takich operacji, otrzymamy wielokąt wypukły.

Na tablicy napisano trzy nieujemne liczby całkowite. Wybieramy z tej trójki dwie liczby i zastępujemy je liczbami i a trzecia liczba pozostaje bez zmiany. Z otrzymaną trójką postępujemy tak samo. Rozstrzygnąć, czy z każdej początkowej trójki liczb całkowitych nieujemnych można w ten sposób otrzymać trójkę, w której co najmniej dwie liczby są zerami.

Wykazać, że jeśli liczby spełniają warunek to

Liczby dodatnie i spełniają równość Dowieść, że