Delta mi!

Środek  odcinka pomiędzy punktami styczności  i  ma jednakową potęgę  względem każdego z okręgów, więc leży na ich osi potęgowej.

Niech  oraz Prosta  jest styczna do  bo Stąd

więc  leży na osi potęgowej  i  Ponadto

więc  także leży na osi potęgowej  i  Oś potęgowa  okręgów  i  jest prostopadła do prostej  łączącej ich środki.

Proste te są osiami potęgowymi, więc teza wynika z twierdzenia 2.

Niech    oraz Punkt  należy do  i  więc osią potęgową tych okręgów jest rozważana w zadaniu prosta przechodząca przez  i prostopadła do prostej  łączącej ich środki. Pozostałe rozważane proste są osiami potęgowymi okręgów  i  oraz  i  Środki  okręgów nie są współliniowe, więc osie potęgowe przecinają się w jednym punkcie.

Wyrazy ciągu  są liczbami dodatnimi. Zapiszmy każdy z nich jako tangens pewnego kąta ostrego:

Wykażemy, że  Zaczynamy od oczywistej zależności

Przekształcamy mianownik ostatniego ułamka:

Po podstawieniu do poprzedniej równości otrzymujemy związek

i w konsekwencji  (obie liczby:  i   leżą w przedziale ). Tak więc  dla wszystkich ; a skoro  czyli  wnosimy stąd, że

Wystarczy teraz zauważyć, że  i skorzystać ze znanej relacji granicznej

Otrzymujemy odpowiedź:

Wykonujemy następujące przekształcenia:

Wystarczy wykazać, że drugi składnik jest dodatni. Ale

Niech  będzie zadanym zbiorem liczb całkowitych. Określamy liczbę  jako iloczyn wszystkich różnic  gdzie  Pokażemy, że wielomian  spełnia wymagany warunek.

Przypuśćmy, że pewne dwie wartości    mają wspólny dzielnik pierwszy  Liczba  jest wówczas także dzielnikiem różnicy  równej  Skoro  jest liczbą pierwszą, musi dzielić jeden z czynników:  lub  Ten drugi czynnik jest też dzielnikiem liczby  więc, tak czy inaczej,  dzieli  To już jest oczekiwana sprzeczność, bo liczby  oraz  różniące się o 1, nie mogą być jednocześnie podzielne przez

Cztery dane liczby to  Nowe sześć liczb – to sumy  ( ). Przyjmijmy oznaczenia:      Wówczas

Stąd

Niech  będzie sumą sześcianów tych sześciu liczb:  gdzie

Dodajemy wyrażenia  i otrzymujemy

Jest to jedyna możliwa wartość sumy

Zauważmy, że

Z założenia mamy, że i  więc ostatnie wyrażenie jest dodatnie.

Zauważmy, że dla dowolnej liczby całkowitej  liczby  i  dają tę samą resztę z dzielenia przez 3 (wystarczy to sprawdzić dla ). Zatem liczby  dają tę samą resztę z dzielenia przez 3. Stąd

dają tę samą resztę z dzielenia przez 3. Ciąg reszt z dzielenia przez 3 liczb  jest więc okresowy o okresie 6 i zaczyna się od  Ponieważ  więc  daje przy dzieleniu przez 3 tę samą resztę co  czyli 2. Stąd  nie są podzielne przez 3, zaś  już jest.

Załóżmy najpierw, że punkt  jest taki, że trójkąt  jest równoboczny. Wówczas trójkąty  i  są przystające, gdyż są podobne i   Ponieważ obrazem odcinka  przy obrocie o kąt  (skierowany zgodnie z kątem ) względem punktu  jest odcinek  więc obrazem trójkąta  jest trójkąt  Zatem kąt  ma miarę  a ponadto  więc trójkąt  jest równoboczny.

---

Są dwa punkty  dla których trójkąt  jest równoboczny. Łatwo sprawdzić, że dla nich trójkąt  jest też równoboczny. Zatem są to wszystkie szukane punkty.

Umieśćmy w punktach  i  masy  a w  i  masy  takie, by  (da się takie masy dobrać). Wtedy  Wobec tego

Jednocześnie  oraz  więc

Niech      Umieśćmy w  odpowiednio masy  i wyznaczmy środek ciężkości  tego układu.    więc  leży na prostej  Jednocześnie  więc  leży też na prostej  Stąd 

Umieśćmy teraz dodatkowo masę  w punkcie  i masę  w punkcie  wtedy  Niech  będzie środkiem ciężkości „starych” i „nowych” mas, wtedy  leży na prostej  łączącej ich środki ciężkości.

Z twierdzenia o dwusiecznej,  jest jej spodkiem dla  Leży więc na niej punkt  Analogicznie leży on też na pozostałych dwusiecznych kątów trójkąta, jest zatem środkiem okręgu wpisanego. Stąd  co kończy dowód.