O deltoidach»Zadanie 7
Dany jest deltoid o osi symetrii
Punkty
są odpowiednio punktami styczności okręgu wpisanego z bokami
; proste
i
przecinają się w punkcie
Wykaż, że punkty
leżą na jednym okręgu.
Dany jest deltoid o osi symetrii
Punkty
są odpowiednio punktami styczności okręgu wpisanego z bokami
; proste
i
przecinają się w punkcie
Wykaż, że punkty
leżą na jednym okręgu.
Udowodnić, że nie istnieją liczby naturalne i
które spełniałyby równość
Wykazać, bez powoływania się na Wielkie Twierdzenie Fermata, że jeśli liczby naturalne oraz
spełniają równość
to
Ciąg liczb naturalnych spełnia warunki
i
dla wszystkich naturalnych
Dowieść, że jest to ciąg rosnący.
Dowieść, że sumę dwóch kolejnych liczb pierwszych większych od można przedstawić w postaci iloczynu trzech liczb naturalnych większych od
Liczby i
są naturalne. Dowieść, że istnieje taka liczba naturalna
dla której
nie jest kwadratem liczby naturalnej.
Rozstrzygnąć, czy istnieje nieskończony, rosnący ciąg liczb naturalnych który spełnia warunki:
oraz
dla wszystkich
Dla jakich liczb naturalnych zachodzi podzielność
Wyznaczyć wszystkie pary liczb naturalnych dla których liczby
i
są sześcianami liczb naturalnych.
Niech będą liczbami naturalnymi. Dowieść, że
Zbiór stanowi
liczb naturalnych, przy czym spełniony jest warunek
dla wszystkich parami różnych
Dowieść, że suma odwrotności elementów zbioru
jest mniejsza od
Wyznaczyć wszystkie pary dodatnich liczb całkowitych o tej własności, że
jest liczbą pierwszą większą od
oraz
jest kwadratem liczby całkowitej.
Kostkę postawiono na stole w taki sposób, że odległości jej wierzchołków od stołu to 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Oblicz długość jej krawędzi.
Niech dla
Udowodnić, że następujące dwa warunki są równoważne:
Wyznaczyć wszystkie funkcje różniczkowalne spełniające równanie
dla każdej pary różnych liczb rzeczywistych których różnica jest liczbą całkowitą.
Wykaż, że
dla każdego naturalnego
Podziel sześcian na sześć przystających czworościanów.
Udowodnij, że liczba jest podzielna przez 13, 49, 181, 379, a nie jest podzielna przez 5 ani 11.
Dla dodatnich liczb całkowitych oraz
rozważamy sumę
Dla ustalonych liczb całkowitych wyznaczyć kres górny zbioru tych wartości wyrażenia
które są mniejsze od 1.
Niech oznacza zbiór nieujemnych liczb całkowitych.