Delta mi!

Z zadania 1 mamy gdyż jest środkową w trójkącie Analogicznie i Ale także bo jest środkową trójkąta co wobec powyższego daje Podobnie

Można przyjąć, że leży wewnątrz lub na brzegu trójkąta Wtedy jeśli to Z treści zadania wynika, że a z zadania 4 wiemy, że Stąd więc

Niech przekątne równoległoboku mają wspólny środek Odcinki i oraz i są zatem środkowymi odpowiednio w trójkątach i Trójkąty te mają pola równe i na mocy zadania 4 ich środkowe dzielą każdy z nich na sześć trójkątów o równych polach. Stąd Ponadto podobnie więc też

X' oznacza obraz punktu X.

Obróćmy trójkąt o wokół punktu Boki trójkąta mają długości oraz

X' oznacza obraz punktu X.

(a) Niech Obróćmy trójkąt o wokół punktu Trójkąt ma wówczas boki o długościach oraz jest więc prostokątny. Stąd jego pole równe jest Jednocześnie na mocy zadania 4 wiemy, że pole to równe jest pola trójkąta zatem

Zauważmy, że reszta z dzielenia liczby przez liczbę jest równa

wobec tego równość można przepisać jako

czyli równoważnie

Zauważmy ponadto, że czynnik

jest równy jeżeli dzieli oraz 0 w przeciwnym przypadku. Stąd wniosek, że powyższy warunek można przepisać jako

Łatwo sprawdzić, że równość ta jest spełniona dla gdzie jest dodatnią liczbą całkowitą. Przykładową nieskończoną rodzinę liczb spełniających warunek zadania stanowią więc wszystkie potęgi dwójki.

Wykażemy, że szukanym zbiorem jest wysokość trójkąta poprowadzona z wierzchołka

Z jednej strony, dla każdego punktu tej wysokości mamy

Z drugiej strony, przypuśćmy, że punkt wnętrza trójkąta równobocznego jest taki, że

Oznaczmy przez obraz punktu w obrocie wokół przeprowadzającym na Wówczas trójkąt jest równoboczny.

Oznaczmy przez obraz punktu w obrocie wokół przeprowadzającym na Wówczas trójkąt jest równoboczny.

Zauważmy, że

skąd i To oznacza, że punkt leży na symetralnej odcinka czyli na wysokości trójkąta opuszczonej z

Odpowiedź: Taki wielościan istnieje.

Rozważmy prostopadłościan o wymiarach

Przecinając ten prostopadłościan płaszczyzną przechodzącą przez środki krawędzi o długości rozetniemy go na dwa przystające prostopadłościany o wymiarach Każdy z nich jest podobny do w skali

Wald analizował zniszczenia samolotów, które wróciły, a więc których uszkodzenia nie uniemożliwiły im dalszego lotu. Najrzadziej obserwowane uszkodzenia zinterpretował jako najniebezpieczniejsze - to one powodowały, że dany samolot nie wracał.

Dzięki nowym hełmom żołnierze ranni w głowę częściej przeżywali. Wcześniej widnieliby w statystykach jako polegli, nie zaś jako ranni.

Niekoniecznie. Niech na przykład 10 z 30 osób ma preferencje (najbardziej chcą obejrzeć najmniej ), 10 osób uważa, że a 10, że Wtedy z wygrywa podobnie z ale tak samo z

Jest to tzw. paradoks Condorceta.

Średnia czterech liczb stanowi ich sumy.

Rozważmy inną loterię, na której jest 100 losów: 5 losów wygrywasz milion i 95 losów nic nie wygrywasz. Prócz tego do pudełka z losami wpadło 50 liści - w razie wylosowania liścia należy go wyrzucić i losować raz jeszcze. Prawdopodobieństwo wygranej jest równe (nie zależy od losowania liści, drapania się po głowie itp.). Ponieważ ta loteria nie różni się de facto od opisanej w zadaniu, więc odpowiedź jest ta sama.

Początkowo szef zarabiał 11 tys., a każdy z pozostałych pracowników po 10 tys. Średnia płaca była więc ciut powyżej 10 tys. i wszyscy prócz szefa zarabiali poniżej średniej.

Po protestach szef nadal zarabia 11 tys., asystentka 8 tys., a pozostali pracownicy po 10 tys. Średnia jest teraz odrobinę poniżej 10 tys. i wszyscy prócz asystentki zarabiają powyżej średniej.

Każde rodzące się dziecko jest na 50% chłopcem, a na 50% dziewczynką - nie zależy to od liczby i płci posiadanego przez nie starszego rodzeństwa.

Jeśli listów trafi do właściwych kopert, to -ty też musi trafić, więc

Każdą z liczb od 1 do można zapisać, używając dokładnie 100 cyfr, początkowe z nich mogą być zerami (liczbę kodują same zera). Liczb bez cyfry 7 jest bo na każdym ze 100 miejsc zapisu dziesiętnego można wybrać dowolną spośród 9 cyfr różnych od 7. Wobec tego szukane prawdopodobieństwo równe jest

Niekoniecznie. Jeśli np. w próbie I uczestniczyły 4 kobiety i 100 mężczyzn, a w próbie II testowano 100 kobiet i 4 mężczyzn, to łącznie szczepionka okazała się skuteczna dla spośród 104 kobiet oraz dla z takiej samej liczby mężczyzn.

...ale może przebadano np. tylko młodzieńców i sędziwe damy?
Problem ten znany jest jako paradoks Simpsona.

Udowodnimy, że jeżeli jest liczbą podzielną przez to nie można zapisać w postaci sumy dwóch elementów zbioru albo - w myśl tezy poprzedniego zadania - w postaci iloczynu dwóch elementów zbioru Przypuśćmy, że

gdzie Skoro to co najmniej jeden z czynników w liczniku powyższego ułamka jest podzielny przez ; bez straty ogólności załóżmy, że Stąd wynika, że liczby i są tej samej parzystości, skąd wobec - obie są nieparzyste. Jednak wówczas daje resztę przy dzieleniu przez - sprzeczność.

Aby wskazać nieskończenie wiele liczb naturalnych będących iloczynami dwóch elementów zbioru rozważymy ciąg Fibonacciego

i wykorzystamy tożsamość

Dla mamy więc

co jest liczbą całkowitą dla każdego To kończy dowód, gdyż dla różnych otrzymujemy różne liczby.