Delta mi!

Wykorzystując funkcję kwadratową

udowodnić nierówność Cauchy'ego-Schwarza

Liczby oraz są całkowite. Udowodnić, że liczba również jest całkowita.

Funkcja kwadratowa spełnia dla każdego nierówność Wyznaczyć największą możliwą wartość wyrażenia

Rozważmy trójmiany kwadratowe i których współczynniki są rzeczywiste i spełniają warunek

Dowieść, że trójmiany i mają obydwa pierwiastki rzeczywiste, a każdy z nich ma jeden pierwiastek leżący na osi liczbowej pomiędzy pierwiastkami drugiego.

Liczba trzycyfrowa, w której jest cyfrą setek, - cyfrą dziesiątek, a - cyfrą jedności, jest pierwsza. Dowieść, że nie jest kwadratem liczby naturalnej.

Rozwiązać równania

gdzie oznacza funkcję Eulera.

Wykazać, że równanie

ma co najmniej jedno rozwiązanie.

oznacza funkcję Eulera.

Rozważamy równanie

(*)

gdzie jest funkcją Eulera, a jest daną liczbą pierwszą. Wykazać, że równanie (*):

a)

ma co najmniej jedno rozwiązanie,

b)

ma skończoną liczbę rozwiązań,

c)

może mieć dowolnie wiele rozwiązań (w zależności od ).

Wyznaczyć największą liczbę naturalną, która jest wspólnym dzielnikiem liczb oraz dla pewnej liczby naturalnej

Dowieść, że istnieje nieskończenie wiele czwórek różnych liczb naturalnych o tej własności, że każdy z iloczynów jest o 1 większy od kwadratu pewnej liczby naturalnej.

Pięciokąt jest wpisany w okrąg o środku ; przy tym Przekątne i są prostopadłe, zaś przekątne i przecinają się w takim punkcie że Wykazać, że trójkąt jest równoboczny.

Trójkąty i są równoboczne i leżą na zewnątrz równoległoboku Udowodnić, że trójkąt też jest równoboczny.

Dany jest sześciokąt foremny Punkty i są środkami odcinków odpowiednio i Dowieść, że trójkąt jest równoboczny.

Punkty i leżą odpowiednio na bokach i prostokąta przy czym trójkąt jest równoboczny. Punkt jest środkiem odcinka Wykazać, że trójkąt jest równoboczny.

Punkty i leżą kolejno na prostej Punkty i leżą po tej samej stronie prostej przy czym trójkąty i są równoboczne. Punkty i są środkami odcinków odpowiednio i Udowodnić, że trójkąt jest równoboczny.

Dany jest czworokąt wypukły i punkt wewnątrz niego, przy czym zachodzą równości: i Dowieść, że środki odcinków i są wierzchołkami trójkąta równobocznego.

Na bokach trójkąta na zewnątrz niego, zbudowano trójkąty równoboczne i Środkami tych trójkątów są odpowiednio punkty i Dowieść, że trójkąt jest równoboczny (twierdzenie Napoleona).

Dany jest trapez o podstawach i w którym Na boku tego trapezu leży taki punkt że Wykazać, że

Punkt leży wewnątrz sześciokąta foremnego Udowodnić, że suma pól trójkątów i jest równa sumie pól trójkątów i

W czworokącie wypukłym mamy Wykazać, że