Delta mi!

Zbiory są podzbiorami zbioru Każdy z nich zawiera co najmniej dwa elementy, a każde dwa mają co najwyżej jeden element wspólny. Wykazać, że

Ustalmy całkowite i Ile rozwiązań w liczbach całkowitych nieujemnych ma równanie

Nazwijmy -kąt miodowym, jeśli można go rozciąć na sześciokąty foremne o boku 1. Dowieść, że liczba różnych (nieprzystających) -kątów miodowych nie przekracza

Dowieść, że dla ustalonego naturalnego równania i spełnia tyle samo par liczb całkowitych

Ustalmy liczbę naturalną Ile ciągów o wyrazach w zbiorze spełnia równość

Przypuśćmy, że pchła z szóstego zadania podróżuje niekoniecznie najkrótszą drogą, ale w każdym punkcie może się znaleźć najwyżej raz. Dowieść, że liczba różnych możliwych dróg pchły nie przekracza

Niech będzie liczbą naturalną. Spośród wierzchołków -kąta foremnego wybieramy trzy, które wyznaczają trójkąt rozwartokątny. Na ile sposobów można to zrobić?

Znaleźć wszystkie trójki liczb całkowitych spełniające równanie

wraz z warunkiem

W trójkącie bok jest najdłuższy. Okrąg wpisany jest styczny do boków odpowiednio w punktach Na prostej leży taki punkt że odcinki oraz są równoległe. Dowieść, że prosta przechodzi przez środek odcinka

Sformułować i udowodnić twierdzenie o trójzębie dla dwusiecznej kąta zewnętrznego.

Wysokości nierównoramiennego, ostrokątnego trójkąta przecinają się w punkcie Punkt jest środkiem tego łuku okręgu opisanego na trójkącie który zawiera punkt Wyznaczyć miarę kąta jeśli spełniona jest równość

Punkt jest środkiem okręgu wpisanego w trójkąt Prosta przecina odcinek w punkcie Symetralna odcinka przecina proste oraz odpowiednio w punktach i Dowieść, że wysokości trójkąta przecinają się w punkcie

Dany jest trójkąt ostrokątny w którym Dwusieczna kąta przecina bok w punkcie Punkt jest środkiem boku Udowodnić, że prosta przechodząca przez środki okręgów opisanych na trójkątach i jest równoległa do prostej

W trójkąt wpisano okrąg o środku Proste i przecinają okrąg opisany na trójkącie odpowiednio w punktach i różnych od i Punkt jest takim punktem, że czworokąt jest równoległobokiem. Dowieść, że jeśli to

Okrąg wpisany w trójkąt jest styczny do odcinków w punktach odpowiednio Niech i będą odpowiednio środkami okręgów wpisanych w trójkąty Prosta jest symetryczna do prostej względem prostej analogicznie określamy proste i Dowieść, że proste i przecinają się w jednym punkcie.

Długości boków pewnego trójkąta różnobocznego stanowią ciąg arytmetyczny. Wykazać, że prosta łącząca środek okręgu opisanego i wpisanego w ten trójkąt jest prostopadła do dwusiecznej pewnego kąta wewnętrznego w tym trójkącie.

Trójkąt wpisany jest w okrąg o promieniu i opisany na trójkącie o promieniu Odległość między środkami tych okręgów jest równa Dowieść, że (twierdzenie Eulera).

Nana jest dodatnia liczba całkowita o tej własności, że jest liczbą pierwszą. Wykazać, że w zbiorze dowolnych różnych dodatnich liczb całkowitych można wskazać takie dwie liczby i że

Dana jest dodatnia liczba całkowita o tej własności, że jest liczbą złożoną. Skonstruować zbiór różnych dodatnich liczb całkowitych o tej własności, że dla każdych dwóch elementów tego zbioru i zachodzi nierówność

Rozwiązać układ równań w liczbach rzeczywistych.