Delta mi!

Oznaczmy przez największy wspólny dzielnik liczb i Ponieważ liczby i są względnie pierwsze, a ich suma jest podzielna przez więc liczba jest względnie pierwsza z liczbami i Ponadto liczba jest podzielna przez Stąd wynika, że czyli

Oznaczmy: Wówczas Mamy

skąd wynika, że na czworokącie można opisać okrąg. Z rowności wynika zatem, że

Korzystając z nierówności pomiędzy średnimi potęgowymi uzyskujemy

skąd teza.

Wykażemy, że każda dodatnia liczba wymierna ma przedstawienie wymaganej postaci. Weźmy dowolną liczbę wymierną

Rozpatrzymy najpierw przypadek, gdy ; tak więc W tym przypadku wystarczy przyjąć

wówczas

podobnie wyrażamy i otrzymujemy

W przypadku ogólnym, gdy jest dowolną liczbą wymierną dodatnią, znajdujemy liczbę wymierną taką, że W myśl konkluzji poprzedniego przypadku liczba daje się zapisać jako ułamek

Stąd dostajemy żądane przedstawienie liczby :

Gdyby teza zadania była fałszywa, to okrąg opisany na -kącie foremnym przecinałby elipsę przynajmniej w pięciu punktach, a to nie jest możliwe.

Skoro dla pewnego naturalnego to Stąd a wtedy

czyli Z drugiej strony

Szukaną liczbą jest więc 998.

Jeśli oznacza pole trójkąta, - jego obwód, - promień okręgu wpisanego, zaś i - długości boków, to wówczas

(wzór Herona), a ponadto Z tych wzorów wynika, że

Podstawiając wartości podane w treści zadania przekonujemy się łatwo, że dla każdego z trójkątów promień koła wpisanego jest równy 6.

Rozważmy dowolny łuk danego okręgu zawierający wszystkie wyróżnione punkty i oznaczmy kolejne liczby przyporządkowane wyróżnionym punktom tego łuku przez Dla każdej liczby zdefiniujmy -wyrazowy ciąg binarny następująco: jeżeli pośród liczb wartość występuje parzystą liczbę razy oraz w przeciwnym przypadku.

Ponieważ jest tylko binarnych ciągów długości więc albo ciągi są parami różne i dla pewnego albo dla pewnych W pierwszym przypadku iloczyn liczb jest kwadratem liczby całkowitej, w drugim zaś - iloczyn liczb jest kwadratem liczby całkowitej.

Każdy ciąg dodatnich liczb całkowitych

których suma jest równa nazwiemy kompozycją liczby

Zauważmy, że -elementowe kompozycje liczby pozostają we wzajemnie jednoznacznej odpowiedniości z -elementowymi podzbiorami zbioru Każdej takiej kompozycji możemy przypisać zbiór

i odwrotnie: każdy podzbiór, którego elementy są wypisane w porządku rosnącym, wyznacza w powyższy sposób pewną kompozycję. Zatem liczba wszystkich kompozycji liczby jest równa liczbie podzbiorów zbioru -elementowego, czyli

Określmy funkcję która przyporządkowuje każdej kompozycji liczby pewną kompozycję następująco: jeżeli to

a jeżeli to

Zauważmy, że dla każdej kompozycji więc zadaje podział zbioru wszystkich kompozycji liczby na pary. Wprost z definicji wynika, że kompozycje w obrębie każdej pary różnią się parzystością liczby parzystych wyrazów. To oznacza, że liczba kompozycji zawierających parzystą liczbę liczb parzystych jest równa połowie liczby wszystkich kompozycji, czyli

Oznaczmy długość odcinka przez a krótszej i dłuższej przekątnej danego siedmiokąta foremnego odpowiednio przez i Wówczas na mocy twierdzenia Ptolemeusza, zastosowanego do trapezu równoramiennego uzyskujemy

Niech będzie takim punktem, że czworokąt jest równoległobokiem. Wówczas więc trapez jest równoramienny. Stosując do niego twierdzenie Ptolemeusza, otrzymujemy

gdyż oraz Łącząc uzyskane równości, mamy

skąd

Niech będzie punktem przecięcia prostej z prostą styczną do obu okręgów, przechodzącą przez Wówczas jako odcinki stycznych. Teza wynika z faktu

Oznaczmy odpowiednio przez i środki ramion i trapezu, a przez punkt przecięcia jego przekątnych. Wówczas na mocy nierówności trójkąta

przy czym ostatnia równość wynika z faktu Jednocześnie w trapezie co kończy dowód.

Trójkąt jest równoramienny, gdyż Ponadto

Niech będzie środkiem boku trójkąta prostokątnego Wówczas trójkąt jest równoramienny i na mocy powyższej równości kątów podobny do trójkąta Stąd

co kończy dowód.

Niech będzie środkiem boku a - środkiem ciężkości trójkąta Wówczas

Trójkąt jest równoramienny, gdyż jako odcinki stycznych do okręgu. Jego podstawa jest zatem prostopadła do dwusiecznej kąta Jednocześnie więc z faktu wynika, że proste i również są prostopadłe, co kończy dowód.