Punkt w trójkącie»Zadanie 5
Wyznacz miary kątów trójkąta o bokach
jeśli
Wyznacz miary kątów trójkąta o bokach
jeśli
Punkt
leży wewnątrz trójkąta równobocznego
Wyznacz
pole trójkąta
jeśli
Punkt
leży wewnątrz trójkąta równobocznego
Udowodnij, że
Czy na powierzchni każdego czworościanu można wskazać takie cztery punkty, które są wierzchołkami kwadratu, i z których żadne dwa nie leżą na jednej ścianie tego czworościanu? Odpowiedź uzasadnij.
Wyznacz wszystkie takie liczby rzeczywiste
dla których liczby
oraz
są wymierne.
Ile, co najwyżej, ścian czworościanu może być trójkątami rozwartokątnymi?
Liczba
jest zapisana za pomocą
dziewiątek. Ile
wynosi suma cyfr kwadratu tej liczby?
Czy można stwierdzić, czy liczba ludzi, którzy uścisnęli dłonie nieparzystej liczby ludzi (w całej dotychczasowej historii Ziemi), jest parzysta czy nieparzysta? Jeśli można, to jaka jest ta liczba?
Dana jest liczba naturalna nieparzysta
Ala i Bartek grają w grę,
wykonując ruchy na przemian. Stan gry jest liczbą całkowitą i zmienia swą
wartość w trakcie gry. Gracz, do którego należy ruch, może do tej
liczby zastosować jedną z dwóch operacji: odjąć od niej dowolną
dodatnią liczbę całkowitą, mniejszą niż
albo podzielić ją przez
i zaokrąglić wynik do najbliższej liczby całkowitej (wobec
nieparzystości
kierunek zaokrąglenia jest zawsze dobrze określony).
Powstała nowa wartość przechodzi do dyspozycji przeciwnika. Wygrywa,
kto pierwszy uzyska wartość 0. Rozpoczyna Ala, startując od liczby
Kto ma strategię wygrywającą?
Na płaszczyźnie dane są punkty
Rozważamy wszystkie
czworokąty wypukłe
położone w ustalonej półpłaszczyźnie
o krawędzi
symetryczne względem prostej
z kątem
prostym przy wierzchołku
Wykazać, że istnieje punkt wspólny
wszystkich uzyskanych prostych
Egzamin składa się z
pytań (
). Pewna liczba studentów
przystąpiła do tego egzaminu. Wiadomo, że dla każdych dwóch studentów
było przynajmniej jedno pytanie, na które obaj znali odpowiedź, ale dla
żadnej pary studentów nie było tak, że obaj znali odpowiedzi na dokładnie
te same pytania. Udowodnić, że do egzaminu przystąpiło co najwyżej
studentów.
Wykazać, że nie istnieje funkcja
przekształcająca zbiór liczb
dodatnich w siebie, spełniająca dla wszystkich dodatnich
nierówność
Wykaż, że dla każdego naturalnego
zachodzą następujące
równości:
Podziel płaszczyznę na kwadraty, z których każde dwa są różnej wielkości.
Podziel kwadrat na mniejsze kwadraty, z których każde dwa są różnej wielkości.
Na ile różnych sposobów można ułożyć chodnik o długości
i szerokości 1, mając do dyspozycji duży zapas płyt o rozmiarach
oraz
?
Wykaż, że
dla dowolnych liczb naturalnych
Niech
oznacza sumę cyfr liczby całkowitej
w zapisie
dziesiętnym. Dowieść, że istnieje nieskończenie wiele takich dodatnich liczb
całkowitych
że
Udowodnić, że w czworościanie
wierzchołek
środek
sfery wpisanej oraz środek ciężkości czworościanu leżą na jednej prostej
wtedy i tylko wtedy, gdy pola trójkątów
i
są równe.
Ciąg liczb całkowitych dodatnich
spełnia warunek
Dowieść, że spełnia on również liniową zależność rekurencyjną
Wyznaczyć wszystkie pary współczynników
oraz wszystkie
pary wyrazów początkowych
dla których ta rekurencja liniowa
generuje ciąg
spełniający zadany na wstępie warunek.