Delta mi!

Przyjmijmy i ustalmy prostokątny układ współrzędnych, w którym wierzchołkami sześcianu są punkty a rzutem prostokątnym punktu na płaszczyznę jest punkt o współrzędnych Zatem ; zaś płaszczyzna jest dana równaniem

Załóżmy, że ma ona punkty wspólne ze wszystkimi ścianami sześcianu; więc np. ze ścianą o wierzchołkach Każda z półprzestrzeni ( ) musi zawierać jeden z tych czterech wierzchołków. Zatem przy pewnym doborze znaków mamy nierówność Skoro znaczy to, że

Analogicznie oraz Dodajemy te trzy nierówności i otrzymujemy

czyli, równoważnie,

Lewa strona to kwadrat odległości punktu od punktu Tak więc A ponieważ ostatecznie

Gdy wszystkie nierówności stają się równościami; płaszczyzna o równaniu leży w odległości od i spotyka wszystkie ściany. Dla szukane maksimum wynosi więc ; zaś w przypadku ogólnym - po przeskalowaniu - wynosi

Niech będą liczbami o rozważanej własności. Wielomian o pierwiastkach

ma współczynniki nieujemne, co wynika z podanych założeń:

Skoro zatem dla Brak pierwiastków dodatnich oznacza, że

Na odwrót, gdy zadane nierówności są spełnione. Rozwiązaniem zadania są czwórki z

Odpowiedź: Największa możliwa liczba elementów zbioru jest równa

Przyjmując

mamy oraz suma każdych trzech elementów jest większa od a zatem nie należy do

Z drugiej strony, zbiory oraz

(dla ) stanowią rozbicie zbioru a w każdym z nich jeden z elementów jest sumą trzech innych, mianowicie

oraz

Pozostaje zauważyć, że jeżeli oraz to dla pewnego i w konsekwencji zbiór nie ma danej w treści zadania własności.

Rozważmy funkcję Wówczas

wobec czego funkcja jest okresowa z okresem Skoro dla to

dla i w konsekwencji, wobec okresowości dla każdego Stąd ostatecznie

co było do udowodnienia.

Będziemy używać oznaczenia (wychodzącego z mody): ; jest to liczba z przedziału Znane (i łatwe do sprawdzenia) własności tego symbolu:

(1)

(2)

Niech będą dodatnimi liczbami całkowitymi spełniającymi podany w zadaniu warunek. Dla przybiera on postać

(3)

To ma zachodzić dla wszystkich liczb Podstawiamy oraz i otrzymujemy

(4)

Oznaczając mamy więc

(5)

To znaczy, że dla oraz dla lewa strona (1) ma wartość niedodatnią. Zgodnie z własnością (1), ta wartość musi być zerem, co ma miejsce jedynie, gdy oraz Dla tej liczby nie jest więc spełniona równość (2), co pokazuje, że jest liczbą całkowitą, czyli że dzieli się przez

Wracamy do nierówności (3) i zauważamy, że dla jej prawa strona jest dodatnia. Wobec tego i lewa strona musi być dodatnia, skąd czyli Ale dzieli się przez Zatem

Na odwrót, gdy nierówność dana w zadaniu jest spełniona dla wszystkich liczb By to sprawdzić, oznaczmy ; należy pokazać, że

(6)

Przy oznaczeniach zależność (4) jest równoważna następującej:

(7)

czyli krócej:

(8)

Jeśli choć jedna z liczb wynosi co najmniej lewa strona (5) wynosi co najmniej 1 i nierówność (5) zachodzi; a jeśli wówczas obie strony (5) są zerami.

Ostatecznie szukane pary liczb całkowitych to pary równych liczb.

(a)

Przy oznaczeniach jak na rysunku (a), korzystając z twierdzenia Pitagorasa, otrzymujemy oraz więc

---

(b)

Nie jest to jednak jedyne rozwiązanie! Oś symetrii deltoidu może zawierać jego krótszą przekątną (rys. (b)). Wówczas co prowadzi do równości oraz

Trójkąt jest ostrokątny,

Trójkąty z rysunku mają równe pola i nie są przystające. Niech będą obrazami w symetrii odpowiednio względem i Wówczas deltoidy i spełniają warunki zadania: mają równe pola i odpowiednie boki oraz nietrudno sprawdzić, że są nieprzystające i wypukłe.

Jeśli w dany czworokąt da się wpisać okrąg, to można go rozciąć na cztery deltoidy, jak na lewym rysunku obok, a następnie jeden z nich na kolejne cztery (bo w każdy deltoid wypukły można wpisać okrąg), łącznie uzyskując siedem deltoidów.

Jeśli zaś w dany czworokąt nie da się wpisać okręgu, to wpiszmy mały okrąg w dowolny z jego kątów i powiększajmy ten okrąg, aż dotknie jednego z pozostałych boków. Pozwala to podzielić dany czworokąt na czworokąt opisany na okręgu i trójkąt, a następnie na siedem deltoidów, jak na rysunku obok.

Niech będą punktami styczności sfery wpisanej w czworościan ze ścianami odpowiednio Wówczas i jako odcinki stycznych do tej sfery, więc po rozpłaszczeniu jest deltoidem. Podobnie uzyskujemy pozostałe deltoidy.

Tak (rysunek). Inny przykład to czworokąt utworzony przez cztery z wierzchołków pięciokąta foremnego.