Delta mi!

Niech będzie punktem symetrycznym do względem środka okręgu. Wówczas jest średnicą okręgu, więc cięciwa jest prostopadła do odcinka a więc również równoległa do odcinka W takim razie jest trapezem równoramiennym, w szczególności Z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta otrzymujemy a stąd

Tak!
Taką liczbą jest na przykład

Jej zapis składa się wyłącznie z zer i jedynek, a suma cyfr to Ponadto

Z jednoznaczności zapisu liczb w systemie dwójkowym w powyższych sumach potęgi liczby mają parami różne wykładniki. Stąd ma w zapisie dziesiętnym jedynek i dwójek, czyli suma cyfr jest równa

Przednia i tylna ściana danej figury mają wspólny wierzchołek, zatem nie są równoległe. Niech i oznaczają odpowiednio punkty przecięcia prostych z oraz z Wówczas każdy z punktów należy do obu płaszczyzn rozważanych powyżej ścian, a więc też do ich wspólnej prostej. Jednak punkty nie są współliniowe, zatem rysunek nie przedstawia wielościanu.

Oznaczmy przez punkt przecięcia prostych i Punkt ten leży w płaszczyźnie przekroju, zatem leży w niej też prosta Stąd brakujący punkt to punkt przecięcia prostych i

Niech będzie punktem przecięcia prostych i Z kształtu trapezu wynika, że oraz że jego pole to pola trójkąta

Z długości krawędzi trójkąta wnioskujemy, że jest on połową trójkąta równobocznego o krawędzi 2. Ponieważ oraz więc

Stąd czworościan jest foremny o krawędzi 2. Jego objętość jest zatem 8-krotnie większa od objętości czworościanu foremnego o krawędzi 1, więc szukany stosunek objętości równy jest

Prosta leży w płaszczyźnie przedniej ściany ostrosłupa z rysunku, a prosta w płaszczyźnie tylnej ściany, więc punkt należy do obydwu tych płaszczyzn. Ich częścią wspólną jest prosta równoległa do podstawy ostrosłupa (gdyż jest on prawidłowy) i przechodząca przez wierzchołek Stąd jedyną wartością, jaką może przyjąć odległość punktu od płaszczyzny podstawy, jest wysokość ostrosłupa równa

Sześcian i jego widok wzdłuż przekątnej

Krawędzie i są równoległe, leżą więc w jednej płaszczyźnie Stąd punkt też do niej należy; podobnie należy on także do Punkty również leżą w jednej płaszczyźnie.

Powyższe trzy płaszczyzny mają wspólną prostą i każda z nich zawiera inną z trzech krawędzi wychodzących z wierzchołka Oznacza to, że płaszczyzny te tworzą równe kąty dwuścienne, czyli kąty po

Prosta jest prostopadła do więc jest nachylona do boków prostokąta pod kątem Ponadto kąt środkowy oparty na cięciwie jest prosty, a stąd

Czworokąt jest opisany na okręgu o średnicy W takim razie kąty i są równe.

Otrzymujemy, że trójkąty i są podobne. Analogicznie trójkąty i są podobne. W takim razie mamy podobieństwo trójkątów i a stąd

Bezpośrednio stąd wynika, że pole prostokąta jest równe

Tak!
Niech będzie taką liczbą naturalną, że Rozważmy liczby dla Zapis każdej z nich rozpoczyna się od więc zawiera wszystkie dziesięć cyfr. Jednocześnie jest to kolejnych liczb naturalnych, więc jedna z nich jest wielokrotnością liczby

Załóżmy przeciwnie, że takie funkcje kwadratowe istnieją. Wówczas liczby są pierwiastkami wielomianu czwartego stopnia Ponieważ dla tylko wówczas, gdy jest wierzchołkiem funkcji to otrzymujemy i Ponadto lub

Liczby i są pierwiastkami funkcji kwadratowej więc mamy i oraz Dla funkcji ostatni warunek wymusza co daje sprzeczność.