Delta mi!

Niech  będzie stożkiem o wierzchołku  w który wpisana jest sfera wpisana w ostrosłup  Część wspólna tego stożka z płaszczyzną podstawy jest elipsą wpisaną w czworokąt  a punkt  jest jej ogniskiem. Teza zadania jest po prostu jedną ze znanych własności elipsy wpisanej w czworokąt.

Niech  będzie średnią arytmetyczną liczb  Oznaczmy:

Suma liczb napisanych po lewych stronach wynosi 3. Zatem i suma liczb po prawych stronach wynosi 3; a to znaczy, że  Stąd

W nierówności danej do udowodnienia wyodrębniamy pierwszy składnik i szacujemy z góry jego mianownik:

Liczba  jest dodatnia (tu korzystamy z założenia, że ), zatem po prawej stronie ostatniej nierówności mamy również liczbę dodatnią, i wobec tego

Stąd

Mamy też analogiczne oszacowanie dla pozostałych dwóch składników zadanej nierówności. Po dodaniu stronami otrzymujemy (pamiętając, że  oraz ):

Przyjmijmy zwykłe oznaczenia:  Równości

dodajemy stronami i otrzymujemy

To znaczy, że punkty  i   leżą po przeciwnych stronach prostej  w jednakowych odległościach od odpowiednich końców odcinka :

Wobec równoramienności trójkąta  oznacza to z kolei, że punkty  i   leżą w jednakowych odległościach od prostej  Stąd już wynika, że ta prosta przechodzi przez środek odcinka

Zauważmy, że

gdzie w ostatniej nierówności skorzystaliśmy z tego, że ciągi  są malejące.

Przyjmijmy oznaczenia punktów styczności okręgów wpisanych z bokami czworokątów jak na rysunku. Warunek  jest równoważny  gdyż  i   Zauważmy, że

Zatem

Z nierówności między średnimi i oszacowania mamy

Równość zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy  i co jest równoważne temu, że

Przypuśćmy przeciwnie, że po pewnej liczbie kroków zmazaliśmy wszystkie liczby. Powiedzmy, że w ostatnim kroku wybraliśmy liczbę Skoro została ona zmazana, to czyli również a zatem lub

Wykażemy najpierw, że musieliśmy wykonać co najmniej trzy kroki. Jest jasne, że wykonaliśmy więcej niż jeden. Przypuśćmy więc, że po dwóch krokach wszystkie liczby zostały zmazane. Niech i będą odpowiednio liczbami wybranymi w pierwszym i drugim kroku. Ponieważ liczba 1 zniknęła z tablicy po pierwszym kroku, więc co oznacza, że po pierwszym kroku na tablicy były wyłącznie liczby i lub tylko Ponieważ więc zmazaliśmy w pierwszym kroku, a zatem Natomiast z nierówności wynika, że czyli Ale też musiało zostać zmazane w pierwszym kroku, więc co jest niemożliwe.

Załóżmy teraz, że w przedostatnim kroku (który nie jest jednocześnie pierwszym) wybraliśmy liczbę Ta liczba nie została zmazana w tym kroku, gdyż oznacza, że lub ale 1 zniknęła w pierwszym kroku, a musi być wybrane w ostatnim. Zatem zmazujemy w ostatnim kroku, czyli więc Wobec tego w przedostatnim kroku mogliśmy wymazać tylko dzielniki liczby Ale ta liczba jest pierwsza, więc nie wymazaliśmy nic, co daje sprzeczność.

Wykażemy, że obraz symetryczny  punktu  względem środka ciężkości  danego czworościanu należy do każdej z sześciu rozważanych płaszczyzn. Wystarczy, że udowodnimy, iż punkt  należy do płaszczyzny  przechodzącej przez punkty  i   oraz równoległej do prostej łączącej punkt  ze środkiem krawędzi

Niech  i   będą środkami krawędzi  i   Punkt  jest środkiem odcinka  a więc czworokąt  jest równoległobokiem. Zatem proste  i   są równoległe. Skoro punkt  leży w płaszczyźnie  to prosta  także. To dowodzi, że punkt  należy do płaszczyzny

666. Niech

Z założenia istnieje ciąg liczb całkowitych nieujemnych  taki, że

Ciąg  czyli  dąży do  gdy  Stąd

(1)

Różnica  jest wielomianem stopnia  z wyrazem wiodącym  Zatem

(2)

Z drugiej strony,

(3)

gdzie

Wobec związków (1), przy  mamy

(4)

Z zależności (3), (4), (2) wynika teraz, że przy

Różnica  przedstawia więc ciąg liczb całkowitych, który jest zbieżny – taki ciąg jest od pewnego miejsca stały. Oznaczając  mamy zatem

liczba  jest całkowita oraz dodatnia.

Dla liczb całkowitych  uzyskujemy równość

gdzie  jest liczbą całkowitą.

Wniosek:  jest wielomianem

pozostaje tylko zauważyć, że  skoro (z założenia) współczynniki  wielomianu  są nieujemne, zaś

Przyjmijmy, że to podzbiory zbioru oznaczające składy drużyn na pierwszym treningu, a – na drugim. Chcemy udowodnić, że dla pewnych mamy Przypuśćmy, że nie ma takiej pary zbiorów. Ponieważ są parami rozłączne i także, więc mamy

co daje sprzeczność.

Z nierówności między średnią arytmetyczną i geometryczną mamy