Delta mi!

Dla permutacji zbioru rozważamy liczby:

Dla każdej liczby naturalnej udowodnić, że permutacja o własności:

(i)

liczby dają różne reszty z dzielenia przez

istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy nie istnieje permutacja o własności:

(ii)

liczby dają różne reszty z dzielenia przez

W trójkącie ostrokątnym wysokości i przecinają się w punkcie Proste i przecinają się w punkcie Prosta przechodząca przez środek boku i równoległa do dwusiecznej kąta przecina proste odpowiednio, w punktach Udowodnić, że okręgi opisane na trójkątach i są przystające.

Podzielić dany kąt na trzy równe części.

Jaś wymyślił pewien wielomian o nieujemnych współczynnikach całkowitych. Małgosia może pytać Jasia o wartość dla wybranego przez nią całkowitego argumentu Ile pytań potrzebuje Małgosia, aby wyznaczyć wielomian

Okrąg leży wewnątrz okręgu i współdzieli z nim środek. W kole ograniczonym przez znajduje się punkt Znaleźć taki punkt na okręgu by długość odcinka gdzie jest punktem przecięcia okręgu z odcinkiem była jak największa.

Zaprojektować dwie różne sześcienne kości do gry, dające te same prawdopodobieństwa wyrzucenia poszczególnych sum oczek co dwie kości standardowe. Na każdej ścianie nowej pary kości ma znaleźć się dodatnia liczba oczek.

Znaleźć wszystkie pary liczb wymiernych spełniających równanie

Dane są liczby Funkcje spełniają dla wszystkich warunki

przy czym jest różnowartościowym odwzorowaniem zbioru na cały zbiór ; ma więc funkcję odwrotną . Udowodnić, że funkcja też jest różnowartościowym odwzorowaniem zbioru na cały zbiór

Udowodnić, że jeśli punkty tworzą układ ortocentryczny, to:

a)

okręgi dziewięciu punktów trójkątów pokrywają się (czyli można mówić o okręgu dziewięciu punktów danego układu ortocentrycznego);

b)

proste Eulera trójkątów mają punkt wspólny.

Przy oznaczeniach z rysunku udowodnić, że punkty są środkami sześciu łuków, które na okręgu wyznaczają punkty i

Przy oznaczeniach z rysunku w artykule wykazać, że

Trapez o podstawach i jest równoramienny. Prosta przechodzi przez środek okręgu opisanego na tym trapezie, jest równoległa do jego podstaw i leży pomiędzy nimi, dwa razy bliżej prostej niż prostej Punkt jest rzutem punktu na prostą Dowieść, że

W równoległoboku kąt jest ostry. Punkt spełnia warunek Prosta przecina odcinek w punkcie Udowodnić, że punkt oraz środki odcinków leżą na wspólnym okręgu.

Odcinki i są wysokościami trójkąta różnobocznego Niech oznacza punkt przecięcia prostych i analogicznie definiujemy punkty i Wykazać, że punkty leżą na prostej prostopadłej do prostej Eulera trójkąta

Na tablicy zapisanych jest różnych liczb rzeczywistych, przy czym jest liczbą nieparzystą. Dla każdej pary liczb z tablicy na osobnej karteczce zapisano liczbę Wykazać, że wszystkie karteczki można podzielić na dwa stosy o równych sumach zapisanych liczb.

Na tablicy zapisanych jest 5 różnych liczb rzeczywistych. Dla każdej pary liczb z tablicy na osobnej karteczce zapisano liczbę Czy może się zdarzyć, że na karteczkach zapisano liczby całkowite od 1 do 10?

Na tablicy zapisanych jest 5 (niekoniecznie różnych) liczb rzeczywistych. Dla każdej pary liczb z tablicy na osobnej karteczce zapisano ich sumę. Karteczki pomieszano, a tablicę starto. Czy na podstawie liczb z karteczek można odtworzyć liczby z tablicy?

Nieskończony ciąg liczb naturalnych jest określony wzorami ; dla Niech Udowodnić, że dla każdego liczba dzieli się przez

Wewnątrz wypukłego -kąta leży taki punkt że każdy z trójkątów jest równoramienny (przyjmujemy ). Czy stąd wynika, że wielokąt ma okrąg opisany, którego środkiem jest punkt

Udowodnić, że jeśli punkty tworzą układ ortocentryczny, to:

(a)

punkt symetryczny do względem prostej leży na okręgu opisanym na trójkącie ;

(b)

okręgi opisane na trójkątach i mają równe promienie;

(c)

punkt symetryczny do względem środka odcinka leży na okręgu opisanym na trójkącie ;

(d)

;

(e)

punkt jest środkiem okręgu wpisanego lub dopisanego do trójkąta utworzonego przez spodki układu.