Delta mi!

Niech będą pierwiastkami tzn. Korzystając ze wzorów Viète'a, mamy

W tej sytuacji

skąd dla Pozostaje łatwe sprawdzenie, że wielomian spełnia przedstawione w zadaniu warunki. Dlatego dla

Podaną w zadaniu równość możemy przekształcić do postaci

co po dodaniu do obu stron daje

Jeśli liczby są nieparzyste, to lewa strona powyższej równości jest podzielna przez 4, w przeciwieństwie do prawej strony, co kończy rozwiązanie zadania.

Dla zachodzi nierówność więc w tym przedziale nie leży żaden wyraz ciągu W każdym dalszym przedziale dodatniości funkcji tangens leży jeden wyraz. Tak więc Wobec określenia wynika stąd, że oraz

W takim razie A skoro (oraz gdy ), zatem

Trójkąty i są równoramienne. Przyjmijmy oznaczenia: ; zatem Środek odcinka leży bliżej punktu niż punktu wobec czego punkt leży między i ; w takim razie Rachunek kątów w trójkącie pokazuje, że

Ponieważ trójkąt jest równoramienny, więc Uzyskujemy równość z której wynika, że czworokąt ma okrąg opisany. Skoro punkt jest środkiem łuku tego okręgu; a to znaczy, że półprosta połowi kąt To teza zadania.

Niech będzie osią symetrii szachownicy, równoległą do pewnych dwóch jej boków. Gracz drugi ma strategię wygrywającą - każdy swój pionek stawia symetrycznie do postawionego w poprzednim ruchu pionka przeciwnika względem prostej

Gracz pierwszy ma strategię wygrywającą - powinien postawić pierwszego hetmana na środkowym polu, a następnie odpowiadać środkowosymetrycznie względem tego pola.

Pierwszy gracz w pierwszym ruchu rozcina środkowe ogniwo. W ten sposób tworzą się dwa łańcuchy po 12 ogniw. Cokolwiek gracz drugi zrobi z jednym z nich, gracz pierwszy odpowiada identycznym ruchem na drugim łańcuchu.

Kluczowa jest obserwacja, że czekoladę kwadratową (czyli o wymiarach ) można otrzymać tylko z niekwadratowej. Zatem receptą na zwycięstwo jest tworzenie kwadratu, o ile to możliwe. Jeśli to zwycięży pierwszy gracz, a w przeciwnym razie - drugi.

Gracz drugi wygrywa - stawia swoje trzy skoczki tak, by razem z ustawionym w poprzednim ruchu przez gracza pierwszego wyznaczały one prostokąt, którego środkiem jest środek szachownicy i którego boki są równoległe do jej brzegów.

W pierwszym ruchu gracz pierwszy zabiera jedną srebrną monetę. Po każdym ruchu drugiego gracza, pierwszy może doprowadzić do tego, aby na stole było o jedną więcej złotych monet niż srebrnych.

Jeśli jest liczbą parzystą, to gracz pierwszy wygrywa, pisząc raz literę i razy literę Gdy to wygrywa gracz drugi w następujący sposób. Przez pierwszych ruchów nie robi nic, a po napisaniu litery -tej sprawdza, czy jest ona taka sama jak -ta. Jeśli tak, to nic nie robi, a jeśli nie, to literę -tą zamienia z tą z liter która jest od niej inna.

Jeśli co najmniej dwie z liczb są parzyste, to wygrywa drugi gracz, wykonując ruchy środkowosymetryczne względem środka prostopadłościanu do ruchów gracza pierwszego. Jeśli są co najmniej dwie nieparzyste, powiedzmy i to strategię wygrywającą ma gracz pierwszy. Najpierw wbija igłę w środek ściany (ta igła przechodzi przez środek prostopadłościanu), a następnie odpowiada środkowosymetrycznie względem środka prostopadłościanu.

Niech liczba boków wielokąta będzie równa a jego wierzchołkami będą kolejno Dla niech

gdzie dla Innymi słowy, jest różnicą długości części, na które dzielą obwód wielokąta punkty oraz Ponieważ

(gdzie jest obwodem danego wielokąta), to jest liczbą parzystą. Ponadto mamy

Zachodzi także równość Stąd wynika, że ciąg liczb

składa się z liczb parzystych, a jego kolejne wyrazy różnią się nie więcej niż o 2. Zatem istnieje takie że czyli punkty oraz dzielą obwód danego wielokąta na dwie części o jednakowej długości.

Niech będzie wartością danego trójmianu w punkcie po zmianie współczynników przez -tego ucznia i niech będzie wartością w -1 trójmianu napisanego przez nauczyciela. Zauważmy, że a (gdzie to numer ostatniego ucznia). Ponadto zachodzi nierówność Rzeczywiście - jest to jasne, gdy zmieniamy wyraz wolny, zaś zmieniając o wartość współczynnika przy dodajemy lub odejmujemy 1 do wartości wielomianu w -1. W takim razie istnieje takie że Zatem w pewnym momencie na tablicy był napisany trójmian którego jednym z pierwiastków było -1; ze wzorów Viète'a wnosimy, że drugim jego pierwiastkiem była liczba całkowita

Niech dla będzie liczbą liczb pierwszych w zbiorze Wśród pierwszych 2020 liczb całkowitych dodatnich jest więcej niż 13 liczb pierwszych, zatem Zauważmy także, że wśród liczb występują same liczby złożone, zatem Oczywiście mamy skąd wniosek, że istnieje taka liczba dla której mamy To kończy rozwiązanie zadania.

Niech dla będzie liczbą elementów zbioru pomalowanych na biało. Zauważmy, że jest liczbą elementów zbioru pomalowanych na biało, czyli Jeśli to teza zadania zachodzi. W przeciwnym razie albo Przyjmijmy bez straty ogólności, że spełniony jest pierwszy przypadek (drugi jest analogiczny). Wtedy Jest jasne, że zatem istnieje taka liczba dla której mamy co jest równoważne z tezą zadania.