Delta mi!

Proste, mamy przecież wzór na najmniejszą wartość funkcji kwadratowej (gdy takowa wartość istnieje): to "minus delta przez cztery a", więc obliczamy "deltę", dopisujemy minus, dzielimy przez 4 i otrzymujemy najmniejszą wartość równą 9.

Ponieważ więc najmniejszą wartość funkcja osiąga wtedy, gdy i jest ona równa 9.

Nie ma się nad czym zastanawiać: rozpatrujemy dwa przypadki: oraz W pierwszym otrzymujemy równanie które ma tylko jedno rozwiązanie wśród liczb mniejszych od 1, mianowicie 0, w drugim - równanie które rozwiązujemy jak każde porządne równanie kwadratowe, wybieramy rozwiązanie nie mniejsze od 1, czyli 2.

Może jednak chwilę się zastanówmy. Rozszerzmy nieco równanie:

Niech Rozwiązujemy równanie i otrzymujemy lub Pierwsze rozwiązanie odpada zatem a stąd lub

Idąc za odruchem przekształcania, sprowadzamy równanie do postaci skąd otrzymujemy i podstawiamy:

Oczywiście

zatem

Musimy przecież wiedzieć, jak wielomian wygląda, więc niech

Wówczas

Ze wzorów skróconego mnożenia wynika, że każdy składnik sumy jest podzielny przez zatem suma jest także podzielna przez

Z twierdzenia o dzieleniu wielomianów z resztą oraz z twierdzenia Bézout wynika, że mamy dla pewnego wielomianu (którego współczynniki także są całkowite). Stąd czyli gdzie jest liczbą całkowitą.

Niech będzie wielomianem przyjmującym zadane wartości. Podstawiamy je i widzimy, że a pozostałe współczynniki są związane układem równań:

Rozwiązujemy układ (dowolną poprawną metodą) i okazuje się, że wartości współczynników nie są całkowite. Tak więc taki wielomian o współczynnikach całkowitych nie istnieje.

Z warunków zadania wynika, że jeśli jest takim wielomianem, to

Obie strony drugiej równości są liczbami całkowitymi, jednak lewa strona jest podzielna przez 3, prawa nie. Sprzeczność.

Po podstawieniu otrzymujemy równanie

co po przekształceniach prowadzi do równania

co daje lub

Dla jakich wartości zachodzi równość Sprawdzamy: gdy Pozostaje sprawdzić, dla jakich wartości mamy : gdy a więc gdy lub

Jeśli funkcja kwadratowa przyjmuje tę samą wartość w punktach i to punkty te muszą być położone na osi symetrycznie względem osi symetrii wykresu funkcji. Dla funkcji osią symetrii jest prosta zatem z warunku wynika, że i dla pewnego Stąd dochodzimy do równania

z którego otrzymujemy W konsekwencji a z symetrii sytuacji mamy drugie rozwiązanie: oraz

Ściany są przystającymi trójkątami równoramiennymi, z jednakowym kątem przy wierzchołku Niech Oznaczając mamy

(1)

Pole trójkąta wynosi ; podobnie wyrażają się pola trójkątów Suma kwadratów ich pól jest równa ; tu i dalej symbol oznacza sumę cykliczną względem trójki (lub ).

Kwadrat pola trójkąta wyrażamy zgodnie ze wzorem Herona jako

Uzyskana wartość ma być równa ; mnożąc przez 4 dostajemy równanie

(2)

Po wprowadzeniu w miejsce wyrażeń (1) i pogrupowaniu wszystkiego według potęg (to mechaniczny rachunek) okazuje się, że wyrazy niezawierające znoszą się, a całe równanie (2) redukuje się do postaci

Kąt jest niezerowy, więc ; stąd czyli Zatem każdy z trójkątów jest prostokątny i równoramienny, o przeciwprostokątnej długości 1; przyprostokątne mają długość Ostrosłup jest szóstą częścią sześcianu o krawędzi Jego objętość wynosi

Niech będzie dowolną liczbą co najmniej dwucyfrową, której ostatnią cyfrą jest zero, a przedostatnią cyfrą nie jest dziewiątka. Wówczas w ciągu dwudziestu kolejnych liczb …, znajduje się liczba o sumie cyfr podzielnej przez 11; jeśli bowiem suma cyfr liczby wynosi to sumy cyfr liczb …, wynoszą …, zaś liczba ma sumę cyfr równą ; rzecz jasna, któraś z wartości …, dzieli się przez 11.

Pozostaje teraz zauważyć, że każdy ciąg kolejnych 39 liczb naturalnych zawiera 20-wyrazowy blok o wyrazie początkowym postaci, jak wyżej.

Ściany i ostrosłupa z rysunku są prostopadłe do podstawy.

Nie, ostrosłup z rysunku ma wszystkie kolorowe krawędzie równej długości, więc spełnia warunki zadania, a nie jest prawidłowy.

Na rysunku przedstawiony jest widok z góry takiego czworościanu. Wysokość opuszczona z kolorowego wierzchołka jest bardzo niewielka.

Jak widać, istnieje czworościan, którego każda ściana jest prostokątna.

W czworościanie z rysunku wysokość (na ścianę ) nie ma wspólnych punktów z wysokością (na ścianę ), tym bardziej nie można więc oczekiwać wspólnego punktu dla wszystkich czterech wysokości.

Taki jedenastościan można uzyskać, obcinając wszystkie wierzchołki graniastosłupa trójkątnego tak, by otrzymać zamiast nich 6 trójkątnych, parami rozłącznych ścian (pozostałych 5 ścian powstaje ze ścian wyjściowego graniastosłupa).

Wielościan Schönhardta. Zewnętrzne kąty dwuścienne przy kolorowych krawędziach są mniejsze od (M. Aigner, G.M. Ziegler, Dowody z księgi, Wyd. Nauk. PWN, 2002).

Dowolny czworościan, który miałby zawierać dolną podstawę wielościanu z rysunku, musiałby także zawierać któryś z jego górnych wierzchołków. Jednak taki czworościan nie byłby w całości zawarty w tym wielościanie.

W czworościanie z rysunku spodek wysokości z wierzchołka to punkt Wysokość z wierzchołka zawarta jest w prostej prostopadłej do płaszczyzny więc spodek tej wysokości to środek przedniej ściany sześcianu. Analogicznie spodkiem wysokości z wierzchołka jest środek kwadratu Przekątna sześcianu jest prostopadła do ściany czworościanu, zatem wysokość z wierzchołka jest równoległa do a co za tym idzie jej spodek również trafia poza odpowiednią podstawę.

Mamy Możemy bez utraty ogólności przyjąć więc, że (zmiana wartości parametrów na oraz przesuwa wykres w poziomie, co nie zmienia zbioru ). Mamy kilka przypadków.

1.

; wtedy

2.

; wtedy jest odcinkiem o długości

3.

; wtedy gdzie Łączna długość tych dwóch odcinków wynosi

Niech będzie takim punktem na odcinku że oraz niech będzie takim punktem na odcinku że

Ponieważ więc trójkąt jest równoboczny. Podobnie trójkąt jest równoboczny. Zauważmy, że

Skoro to więc Zatem trójkąty są przystające (cecha bkb). W szczególności

Postulowaną własność mają na przykład wszystkie liczby postaci Żadna z nich nie jest sumą dwóch niezerowych kwadratów; przypuśćmy bowiem, że ; liczby nie mogą być obie nieparzyste (bo wówczas (mod 4)); muszą więc być parzyste, co daje przedstawienie liczby w postaci sumy dwóch niezerowych kwadratów. Dalsze zstępowanie prowadzi do konkluzji, że 4 jest sumą dwóch niezerowych kwadratów - a to absurd.

Natomiast niezerowe wymierne rozwiązanie równania łatwo uzyskamy, biorąc dowolną trójkę pitagorejską liczb naturalnych i przyjmując