Delta mi!

Punkt leży na boku trójkąta . Niech , , i . Dowieść, że (twierdzenie Stewarta).

Ustalmy półproste i mające wspólny początek które zostały podane w kolejności antyzegarowej. Prosta przecina je odpowiednio w punktach i Dowieść, że wartość wyrażenia nie zależy od wyboru prostej (niezmienniczość dwustosunku).

Dany jest prostokąt Punkty i leżą odpowiednio na odcinkach i przy czym trójkąt jest równoboczny. Dowieść, że suma pól trójkątów i jest równa polu trójkąta

Czworokąt wpisany jest w okrąg. Na tym okręgu leży punkt Udowodnić, że iloczyn odległości punktu od prostych i jest równy iloczynowi odległości punktu od prostych i

Punkty leżą odpowiednio na bokach trójkąta Spełnione są następujące równości:

Wykazać, że

W pięciokącie wypukłym zachodzą następujące równości:

Wyznaczyć miary kątów tego pięciokąta.

W trókjącie wpisanym w okrąg o środku kąt przy wierzchołku jest rozwarty oraz zachodzi równość Odcinki i przecinają się w punkcie Dwusieczne kątów i przecinają odcinek w punktach odpowiednio i Dowieść, że punkt jest środkiem odcinka

Znaleźć największe pole trójkąta o bokach gdzie jest punktem wewnątrz trójkąta równobocznego o boku 1.

Znaleźć największą wartość sumy gdzie dla

Dla liczb rzeczywistych przyjmijmy: Wyznaczyć najmniejszą możliwą wartość wyrażenia

dla liczb spełniających warunek oraz wyznaczyć wszystkie czwórki dla których to minimum jest osiągane.

Okręgi i przecinają się w punktach i Środek okręgu leży na okręgu i jest końcem jego średnicy Cięciwa okręgu niebędąca średnicą, przecina okrąg oraz odcinek odpowiednio w punktach oraz Prosta przechodząca przez równoległa do przecina odcinek w punkcie Dowieść, że prosta przechodzi przez środek odcinka

W czworokąt wypukły można wpisać okrąg. Przez środek każdego z odcinków poprowadzono proste prostopadłe do przeciwległych boków czworokąta Proste te ograniczają obszar będący czworokątem wypukłym. Wykazać, że w ten czworokąt również można wpisać okrąg.

Na czworokącie można opisać okrąg. Niech będzie punktem przecięcia przekątnych czworokąta. Załóżmy, że dwusieczna kąta przecina prostą w punkcie zaś prostą w punkcie ; niech ponadto dwusieczna kąta przecina prostą w punkcie zaś prostą w punkcie Udowodnić, że okręgi opisane na trójkątach mają punkt wspólny.

Udowodnić, że wtedy i tylko wtedy, gdy lub

Liczby rzeczywiste spełniają równość Wyznaczyć wszystkie możliwe wartości wyrażenia

Liczby są rzeczywiste. Udowodnić, że jeśli

to pewne dwie z liczb są równe.

Udowodnić nierówność pomiędzy średnią geometryczną i arytmetyczną:

Wykazać, że liczba jest złożona dla każdej liczby całkowitej dodatniej

Wyznaczyć wszystkie trójki liczb rzeczywistych które spełniają równości

Liczby całkowite spełniają równość

Dowieść, że