Zadanie ZM-1580
o zadaniu...
- Publikacja w Delcie: październik 2018
- Publikacja elektroniczna: 1 października 2018
Niech będą różnymi pierwiastkami wielomianu Wyznaczyć wartość wyrażenia
Niech będą różnymi pierwiastkami wielomianu Wyznaczyć wartość wyrażenia
Dany jest trójkąt w którym Punkty i leżą odpowiednio na bokach i przy czym
Wyznaczyć miarę kąta
Zadanie 768 zaproponował pan Witold Bednarek z Łodzi.
Znaleźć wszystkie trójki liczb naturalnych spełniające równanie
Jak wygrać (lub zremisować) w szachy z arcymistrzem, nawet nie umiejąc grać?
Czy istnieją takie liczby niewymierne dla których liczba jest wymierna?
Przyklejamy do stołu monetę 1 zł i kładziemy nad nią, styczną do niej, drugą monetę 1 zł, z orłem ustawionym jak na rysunku. Następnie tę drugą monetę toczymy wokół przyklejonej. Jak ustawiony będzie orzeł, gdy toczona moneta znajdzie się na dole monety nieruchomej?
Jeśli szerokość pewnego prostokąta powiększyć o 50%, to jego szerokość powiększy się o 25%. O ile procent zmniejszy się długość tego prostokąta, jeśli jego długość zmniejszymy o 50%?
Rozważamy trójkąt równoboczny o boku podzielony na trójkątów równobocznych o boku Każdy punkt, który jest wierzchołkiem co najmniej jednego z tych trójkątów, nazwijmy węzłem.
Wyznaczyć liczbę równoległoboków o wierzchołkach w węzłach, których dwa boki są równoległe do a dwa do
Rozważamy trójkąt równoboczny o boku podzielony na trójkątów równobocznych o boku Każdy punkt, który jest wierzchołkiem co najmniej jednego z tych trójkątów, nazwijmy węzłem.
Wyznaczyć liczbę trójkątów równobocznych o wierzchołkach w węzłach (ale bokach niekoniecznie równoległych do boków ).
Mając daną siatkę czworościanu, skonstruować punkty styczności sfery wpisanej w ten czworościan do jego ścian.
Zadanie 766 zaproponował pan Piotr Kumor z Olsztyna.
Znaleźć liczbę rzeczywistą taką, że dla dowolnych liczb dodatnich zachodzi nierówność
Im większa liczba tym lepsze rozwiązanie.
Czworokąt jest wpisany w okrąg. Jego najmniejszy kąt wewnętrzny ma wierzchołek Zakładamy, że proste i przecinają się w punkcie zaś proste i przecinają się w punkcie przy czym Niech będzie środkiem przekątnej Wykazać, że
Wykaż, że wśród dowolnych 1111 parami różnych podzbiorów zbioru 11-elementowego zawsze znajdą się dwa rozłączne.
Udowodnij, że w dowolnym ciągu 2018 liczb całkowitych zawsze można wskazać pewną liczbę kolejnych wyrazów, których suma jest podzielna przez 2018.
Płytką nazwiemy pokazaną na rysunku figurę złożoną z czterech sześciokątów foremnych o boku oraz dowolną figurę otrzymaną z niej przez obrót lub symetrię. Z kolei -trójkątem nazwiemy trójkątny układ tworzony przez sześciokątów foremnych o boku (na rysunku pokazano -trójkąt). Znaleźć wszystkie dodatnie liczby całkowite o tej własności, że z pewnej liczby płytek można ułożyć -trójkąt.
Dodatnią liczbę całkowitą nazwiemy podkwadratową, jeżeli jest kwadratem liczby całkowitej. Wykazać, że istnieje nieskończenie wiele par liczb podkwadratowych o tej własności, że ich suma oraz iloczyn także są podkwadratowe.
Wewnątrz kwadratu jednostkowego znajduje się wielokąt wypukły o polu większym od Wykazać, że wewnątrz wielokąta można wskazać odcinek o długości równoległy do boku kwadratu
Wykaż, że środkowa dzieli trójkąt na dwa trójkąty o równych polach.
Punkty i są środkami odpowiednio boków i trójkąta punkt leży na boku Wyznacz możliwe wartości
Punkty są środkami boków czworokąta wypukłego Wykaż, że suma pól ciemnych trójkątów równa jest polu jasnego czworokąta.