Zadanie ZM-1580
o zadaniu...
- Publikacja w Delcie: październik 2018
- Publikacja elektroniczna: 1 października 2018
Niech będą różnymi pierwiastkami wielomianu
Wyznaczyć wartość wyrażenia

Niech będą różnymi pierwiastkami wielomianu
Wyznaczyć wartość wyrażenia
Zadanie 768 zaproponował pan Witold Bednarek z Łodzi.
Znaleźć wszystkie trójki liczb naturalnych spełniające równanie
![]() |
Jak wygrać (lub zremisować) w szachy z arcymistrzem, nawet nie umiejąc grać?
Czy istnieją takie liczby niewymierne dla których liczba
jest wymierna?
Jeśli szerokość pewnego prostokąta powiększyć o 50%, to jego szerokość powiększy się o 25%. O ile procent zmniejszy się długość tego prostokąta, jeśli jego długość zmniejszymy o 50%?
Rozważamy trójkąt równoboczny o boku
podzielony na
trójkątów równobocznych o boku
Każdy punkt, który jest wierzchołkiem co najmniej jednego z tych
trójkątów, nazwijmy węzłem.
Wyznaczyć liczbę równoległoboków o wierzchołkach w węzłach, których dwa boki są równoległe do a dwa do
Rozważamy trójkąt równoboczny o boku
podzielony na
trójkątów równobocznych o boku
Każdy punkt, który jest wierzchołkiem co najmniej jednego z tych
trójkątów, nazwijmy węzłem.
Wyznaczyć liczbę trójkątów równobocznych o wierzchołkach w węzłach (ale bokach niekoniecznie równoległych do boków ).
Mając daną siatkę czworościanu, skonstruować punkty styczności sfery wpisanej w ten czworościan do jego ścian.
Zadanie 766 zaproponował pan Piotr Kumor z Olsztyna.
Znaleźć liczbę rzeczywistą taką, że dla dowolnych liczb dodatnich
zachodzi nierówność
![]() |
Im większa liczba tym lepsze rozwiązanie.
Czworokąt jest wpisany w okrąg. Jego najmniejszy kąt wewnętrzny ma wierzchołek
Zakładamy, że proste
i
przecinają się w punkcie
zaś proste
i
przecinają się w punkcie
przy czym
Niech
będzie środkiem przekątnej
Wykazać, że
Wykaż, że wśród dowolnych 1111 parami różnych podzbiorów zbioru 11-elementowego zawsze znajdą się dwa rozłączne.
Udowodnij, że w dowolnym ciągu 2018 liczb całkowitych zawsze można wskazać pewną liczbę kolejnych wyrazów, których suma jest podzielna przez 2018.
Płytką nazwiemy pokazaną na rysunku figurę złożoną z czterech sześciokątów foremnych o boku oraz dowolną figurę otrzymaną z niej przez obrót lub symetrię. Z kolei
-trójkątem nazwiemy trójkątny układ tworzony przez
sześciokątów foremnych o boku
(na rysunku pokazano
-trójkąt). Znaleźć wszystkie dodatnie liczby całkowite
o tej własności, że z pewnej liczby płytek można ułożyć
-trójkąt.
Dodatnią liczbę całkowitą nazwiemy podkwadratową, jeżeli
jest kwadratem liczby całkowitej. Wykazać, że istnieje nieskończenie wiele par liczb podkwadratowych o tej własności, że ich suma oraz iloczyn także są podkwadratowe.
Wewnątrz kwadratu jednostkowego znajduje się wielokąt wypukły
o polu większym od
Wykazać, że wewnątrz wielokąta
można wskazać odcinek o długości
równoległy do boku kwadratu
Wykaż, że środkowa dzieli trójkąt na dwa trójkąty o równych polach.