Delta mi!

Szereg promieniotwórczy U to kolejno następujące rozpady i Szereg kilkakrotnie się rozgałęzia, ale "wszystkie drogi prowadzą" do końcowego, stabilnego izotopu Pb. Na każdej drodze uwalnianych jest 8 cząstek a powstające w wyniku kolejnych rozpadów jądra mają czasy połowicznego rozpadu wiele rzędów wielkości krótsze niż U - najdłuższy z nich to lat dla U. Z początkowej liczby moli U w czasie od powstania Ziemi do dziś rozpadnie się:

a w wyniku tych rozpadów powstanie moli He. W warunkach normalnych (temperatura C, ciśnienie 101 ) hel jest gazem o objętości molowej Dla danych zadania: mola, mola He wypełniłby objętość

Siła oporu jest skierowana przeciwnie do prędkości ciała względem powietrza. Podczas ruchu bez wiatru rowerzysta, jadąc z prędkością musi więc stale działać siłą (przeciwną do siły oporu powietrza):

gdzie jest stałą zależną od kształtu i rozmiarów rowerzysty i roweru. Moc potrzebna do utrzymania stałej prędkości jest wówczas równa Gdy pojawia się poprzeczny wiatr o prędkości utrzymanie stałej prędkości (względem drogi) wymaga działania siłą:

Dla uproszczenia przyjęliśmy, że stała jest w obu przypadkach taka sama. Moc potrzebna do utrzymania stałej prędkości względem drogi będzie teraz równa:

Skorzystaliśmy z faktu, że wektory prędkości i są prostopadłe. Ostatecznie otrzymujemy:

Dla podanych w treści zadania prędkości

Jeżeli mięśnie zbudowane są z ułożonych równolegle jednakowych włókien, z których każde podczas skurczu działa z tą samą siłą, to siła z jaką działa mięsień, jest proporcjonalna do pola jego przekroju poprzecznego. Skrócenie mięśnia jest proporcjonalne do jego długości Energia potencjalna "skoczka" o masie po osiągnięciu maksymalnej wysokości jest równa pracy wykonanej przez kurczące się mięśnie: a więc

Występujące we wzorze wielkości skalują się z rozmiarem zwierzęcia w następujący sposób: i Otrzymujemy:

Nasze rozumowanie prowadzi do wniosku, że wysokość skoku nie zależy od rozmiarów zwierzęcia i tym samym także od jego masy. Dane (Knut Schmidt-Nielsen, Dlaczego tak ważne są rozmiary zwierząt, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 1994):
pchła: , ;
szarańcza , g;
człowiek , .

Optymalne warunki poziomego lotu odpowiadają sytuacji, gdy energia potrzebna do podtrzymania lotu jest możliwie mała. Oznacza to, że prędkość powinna być jak najmniejsza, ale wystarczająca do wytworzenia siły nośnej równoważącej ciężar ptaka. Otrzymujemy warunek:

gdzie jest całkowitą masą ptaka, a przyspieszeniem ziemskim. Wewnątrz jednego rzędu ptaki mają bardzo podobną budowę i upierzenie, ale mogą znacznie różnić się rozmiarami. Za miarę wielkości ptaka przyjmijmy jedną z charakterystycznych długości - np. rozpiętość skrzydeł. Zachodzi wówczas skalowanie: oraz gdzie znak " " oznacza proporcjonalność. Podstawienie tych relacji do podanego wyżej równania na siłę nośną prowadzi do oszacowania: i dalej do:

Wykonane bardzo trudne pomiary prędkości lotu ptaków względem powietrza (patrz: PLoS Biology 5, 1656 (2007)) prowadzą do empirycznego wzoru:

z ms oraz Podawane są też wyniki pomiarów prowadzące do oszacowania skąd wynika (Knut Schmidt-Nielsen, Dlaczego tak ważne są rozmiary zwierząt, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 1994).

Niech masa meteoroidu wynosi masa Ziemi a stała grawitacji Podczas ruchu w polu grawitacyjnym Ziemi zachowany jest moment pędu Zachowana jest także energia całkowita :

gdzie oznacza odległość meteoroidu od środka Ziemi. Ostatnia równość wynika z faktu, że bardzo daleko od Ziemi energia potencjalna, W każdym punkcie toru ruchu prędkość meteoroidu możemy rozłożyć na składową równoległą do odcinka łączącego środki Ziemi i meteoroidu, oraz składową do tego odcinka prostopadłą. Mamy: oraz co pozwala energię całkowitą zapisać jako:

W punkcie toru najbliższym Ziemi mamy Po skorzystaniu z faktu, że otrzymujemy równanie na poszukiwaną odległość :

Rozwiązaniem jest:

Ziemię ominą meteoroidy, dla których

gdzie oznacza drugą prędkość kosmiczną (prędkość ucieczki z powierzchni Ziemi):

a)

Początkowo obaj kierowcy jadą z tą samą prędkością Przyjmijmy, że podczas hamowania przyspieszenia obu pojazdów także są jednakowe i wynoszą ale drugi kierowca rozpoczyna hamowanie o później niż pierwszy. Odległość między pojazdami będzie "bezpieczna", jeśli podczas hamowania odległość między nimi będzie stale dodatnia. Od rozpoczęcia hamowania do zatrzymania pojazdu każdy z nich przejedzie taką samą odległość, ale drugi przejedzie odcinek nim zacznie hamować, i o tyle zmniejszy się odległość między pojazdami w chwili, gdy oba już się zatrzymają. Wynika stąd warunek Dla s oznacza to, że

Przy prędkości

b)

Droga jaką przejedzie kierowca od chwili zauważenia przeszkody (np. kłody leżącej w poprzek drogi) do zatrzymania pojazdu wynosi

i co najmniej taki odcinek drogi powinien widzieć kierowca, żeby uniknąć zderzenia z nieruchomą przeszkodą. Dla i prędkości otrzymujemy Na mokrym asfalcie, gdy drugi składnik rośnie do 131 m i

Strumień ciepła potrzebny do tego, żeby między powierzchniami płyty utrzymywała się stała różnica temperatur jest proporcjonalny do i odwrotnie proporcjonalny do grubości płyty :

Przy zadanej wartości Wm różnica temperatur wynosi więc:

Promieniowanie cieplne przenosiło taki sam strumień ciepła między powierzchniami ciał szarych (patrz rozwiązanie zadania ZF-1007), gdy różnica ich temperatur wynosiła Przy tej samej różnicy temperatur wydajność wymiany ciepła poprzez promieniowanie bardzo szybko rośnie ze wzrostem temperatury - proporcjonalnie do

Jeżeli nieprzezroczyste ciało absorbuje część energii padającej na jego powierzchnię, to z zasady zachowania energii wynika, że pozostały ułamek energii jest przez tę powierzchnię odbijany i rozpraszany do otoczenia. Przyjrzyjmy się energii docierającej od ciała A do B. Emitowany przez powierzchnię A strumień energii, równy w całości dociera do B. Tam jego część jest przez B absorbowana, a część jest rozpraszana (odbijana) i w całości wraca do A (obie powierzchnie traktujemy jak nieskończone płaszczyzny - zaniedbujemy efekty brzegowe), gdzie jej część jest absorbowana, a część odbijana itd. Od A do B, w wyniku nieskończonej liczby odbić, dociera więc strumień energii:

Analogiczne wyrażenie otrzymamy dla strumienia docierającego od B do A, ale z w miejscu Ostatecznie, poszukiwany strumień energii netto przepływającej między ciałami wynosi

Do uzyskania ostatniego wyrażenia skorzystaliśmy z definicji współczynników Po podstawieniu danych liczbowych:

Źródłem siły dośrodkowej utrzymującej szybką rotację powietrza wokół oka cyklonu jest różnica ciśnień w odległości i od oka cyklonu. Rozważmy fragment strugi wiatru o szerokości i powierzchni w kierunku prostopadłym do promienia. Równowaga działających sił prowadzi do równania:

Otrzymujemy:

Dla oszacowania wartości pochodnej ciśnienia przyjmijmy, że ciśnienie w centrum wynosi 880 hPa, a na krańcu cyklonu, w odległości , wynosi 1010 hPa. Według naszego wzoru prędkość wynosi zero w centrum i rośnie z Z dala od centrum zmiany ciśnienia maleją i na krańcu cyklonu pochodna ciśnienia wynosi zero. Przyjmijmy, że maksymalna prędkość osiągana jest w odległości od centrum, i do obliczeń weźmy średnią wartość pochodnej Otrzymujemy:

a więc Maksymalny zarejestrowany poryw wiatru cyklonu Wilma osiągnął ale przez większość blisko dwutygodniowego "życia" tego cyklonu maksymalna prędkość wiatru wynosiła od 175 do

Powierzchnia Ziemi ogrzewa atmosferę. Ogrzana "porcja" powietrza o masie rozszerza się i wznosi pod wpływem siły wyporu, aż osiągnie wysokość na której jej gęstość zrówna się z gęstością otaczającego gazu. Ze względu na bardzo małe przewodnictwo cieplne wznosząca się "porcja" powietrza podlega przemianie adiabatycznej. Zgodnie z I zasadą termodynamiki zmiana energii wewnętrznej gazu w tej przemianie równa jest pracy sił zewnętrznych działających na gaz:

gdzie oznacza ciśnienie zewnętrzne, a zmianę objętości gazu. Zmiana energii wewnętrznej gazu doskonałego gdzie oznacza liczbę moli gazu, - jego molowe ciepło właściwe w stałej objętości, a zmianę temperatury. Na podstawie równania stanu gazu doskonałego mamy też:

a więc

Z drugiej strony, w warunkach równowagi z otoczeniem - gazem o gęstości mamy Dostajemy równanie:

Po skorzystaniu z zależności oraz otrzymujemy warunek:

co po podstawieniu danych liczbowych prowadzi do wniosku, że w spokojnym, suchym powietrzu spadek temperatury z wysokością wynosi

Proces zamarzania jest powolny, a więc możemy przyjąć, że górna powierzchnia lodu ma temperaturę powietrza C, natomiast dolna, stykająca się z wodą ma temperaturę C, równą temperaturze zamarzającej wody. Ciepło przepływa od cieplejszej wody pod powierzchnią lodu do zimniejszego powietrza nad jego powierzchnią i podczas całego procesu różnica temperatur K pozostaje stała, ale rośnie grubość lodu. Powstanie warstwy lodu o grubości i polu powierzchni wymaga odebrania ciepła Szybkość przepływu ciepła jest proporcjonalna do powierzchni, różnicy temperatur i odwrotnie proporcjonalna do grubości lodu (tzn. jest proporcjonalna do szybkości zmian temperatury z grubością) i wynosi:

Otrzymujemy więc:

Oznacza to stałą szybkość zmiany kwadratu grubości warstwy

Ostatecznie otrzymujemy dla początkowej grubości i końcowej :

oraz

Po podstawieniu danych liczbowych godziny.

Spadek z wysokości trwa po czym następuje odbicie z prędkością a następnie ruch w górę do wysokości (po odbiciu energia kinetyczna wynosi energii przed odbiciem) i ponowne spadanie. Całkowity czas pomiędzy pierwszym i drugim odbiciem wynosi więc Analogicznie czas pomiędzy odbiciem i wynosi:

Całkowity czas jaki upłynie do wytłumienia podskoków, równy jest:

W obliczeniach skorzystaliśmy ze wzoru na sumę szeregu geometrycznego. Po podstawieniu danych liczbowych otrzymujemy Model Newtona jest nieco uproszczony i nie uwzględnia wzrastania współczynnika restytucji od 0,7 do 1 wraz ze zmniejszaniem prędkości zderzających się ciał.

Gdyby do Ziemi nie docierał strumień energii ze Słońca, to temperatura jej powierzchni miałaby wartość, przy której strumień energii dopływającej z wnętrza Ziemi byłby równy strumieniowi energii wypromieniowanej.

Wartość strumienia ciepła dostarczanego w procesie przewodnictwa cieplnego wynosi

gdzie oznacza głębokość. Strumień energii wypromieniowanej z powierzchni:

Drugie równanie opisuje promieniowanie ciała doskonale czarnego i w przypadku powierzchni ciał "rzeczywistych" jego prawą stronę należy pomnożyć przez zdolność emisyjną powierzchni Dla powierzchni Ziemi jest bliskie 1, a dla materiałów tworzących skały powierzchniowe mieści się w granicach

Przyjmijmy oraz . Równość obu strumieni energii prowadzi do oszacowania:

Uwzględnienie zdolności emisyjnej powierzchni wprowadziłoby dodatkowy czynnik równy co najwyżej , a więc prowadzi do co najwyżej

Dominującym źródłem energii we wnętrzu Ziemi są najprawdopodobniej rozpady jąder Th o czasie połowicznego rozpadu lat, lat oraz lat.

Temperatura powierzchni planety ustala się, gdy wartość strumienia energii docierającej do jej powierzchni równa się wartości energii wypromieniowanej. Ilość energii docierającej do Ziemi od Słońca w jednostce czasu to:

gdzie oznacza promień Ziemi. Przyjmując, że Ziemia promieniuje jak ciało doskonale czarne o temperaturze jej powierzchnia wypromieniowuje w jednostce czasu energię równą:

Równość obu strumieni prowadzi do wniosku, że:

Dla Marsa, poza inną wartością albedo, należy uwzględnić większą odległość od Słońca:

Mierzone średnie temperatury powierzchni wynoszą odpowiednio i Duża różnica obliczonej i mierzonej temperatury dla Ziemi jest wynikiem istnienia atmosfery (ciśnienie "atmosferyczne" na Marsie wynosi ) i związanego z nią efektu cieplarnianego.

Z wykresu na rysunku widać, że dla objętości tlen i azot skraplają się, a ciśnienie jest stałe i równe sumie ciśnień par nasyconych tlenu i azotu w temperaturze gdzie jest temperaturą wrzenia ciekłego azotu pod ciśnieniem normalnym zatem Dla objętości następuje skraplanie jednego z gazów, a dla objętości pary obu gazów są nienasycone.

Załóżmy, że w punkcie rozpoczyna się skraplanie azotu, a w punkcie skraplanie tlenu. Wtedy gdzie jest ciśnieniem pary nienasyconej azotu w punkcie Ponieważ dla objętości azot jest tylko w stanie gazowym, zachodzi związek Zgodnie z wykresem oraz Stąd

Przy założeniu, że tlen zaczyna się skraplać w punkcie otrzymalibyśmy wynik sprzeczny z faktem, że tlen wrze w temperaturze wyższej niż azot, czyli ciśnienie jego pary nasyconej w temperaturze powinno być niższe niż

Masę tlenu można znaleźć z równań Clapeyrona: oraz gdzie jest stałą gazową, a masami molowymi tlenu i azotu. Stąd

Rys. 1.

Rys. 2.

Przyjmijmy, że ładunek jest dodatni, co nie zmniejsza ogólności rozważań. Linie pola elektrycznego przed połączeniem okładek przedstawione są na rysunku 1. Zgodnie z prawem Gaussa wartość wektora natężenia gdzie jest przenikalnością elektryczną próżni, a powierzchnią okładek. Po połączeniu napięcie między okładkami wynosi zero, znika więc pole między okładkami, a ładunki na obu okładkach są równe Linie pola elektrycznego po połączeniu przedstawia rysunek 2, pole elektryczne na zewnątrz kondensatora jest takie samo jak przed połączeniem, czyli jego energia nie zmienia się. Przed połączeniem pole między okładkami jest takie samo jak w kondensatorze naładowanym ładunkiem Ciepło wydzielone na oporniku jest równe energii takiego kondensatora:

Energie kwantów promieniowania elektromagnetycznego emitowanego przez atom wodoru opisuje zależność

gdzie oznacza częstość fali, a i to numery poziomów energetycznych, między którymi zaszło przejście promieniste . Częstość promieniowania związana jest z długością fali wzorem Zakres długości fal rejestrowanych przez ludzkie oko odpowiada więc zakresowi energii . Jeśli wyrazimy otrzymany zakres energii za pomocą stałej Rydberga, to otrzymamy

Jak łatwo sprawdzić, wszystkie przejścia promieniste na poziom odpowiadają energiom większym od górnej granicy przedziału widzialnego, a na poziom energiom mniejszym od dolnej granicy tego obszaru . W badanym obszarze znajdują się linie o i (ostatnie trzy linie wypadają w obszarze promieniowania nadfioletowego - za jego granicę przyjmuje się nm). Jest to tak zwana seria Balmera.

W chwili początkowej powierzchnia walca porusza się względem podłogi z prędkością W związku z tym podłoga działa na walec siłą tarcia Siła ta nadaje walcowi przyspieszenie ruchu postępowego oraz spowalnia jego ruch obrotowy - przyspieszenie kątowe (znak minus w obu wzorach wynika z przyjęcia, że w chwili początkowej stykająca się z podłogą powierzchnia walca porusza się w dodatnim kierunku osi poziomej). Prędkość kątowa walca i prędkość jego ruchu postępowego zmieniają się w czasie według wzorów

a prędkość powierzchni walca (stykającej się z podłogą) względem podłogi wynosi

Gdy zmaleje do zera, poślizg ustanie. Nastąpi to po czasie

Stała siła tarcia wykona pracę na drodze równej całkowitemu przesunięciu powierzchni względem siebie. Praca ta wynosi

Praca ta jest równa różnicy początkowej energii kinetycznej ruchu obrotowego walca i jego całkowitej energii kinetycznej podczas toczenia bez poślizgu.

Zgodnie z pierwszą zasadą termodynamiki wartość bezwzględna pracy, jaką gaz wykonuje podczas przemiany izotermicznej, równa jest ciepłu pobranemu w tej przemianie: Praca uzyskana w cyklu

Ciepło pobrane w cyklu gdzie jest ciepłem pobranym na izochorze, oznacza liczbę moli, jest molowym ciepłem właściwym przy stałej objętości dla gazu jednoatomowego. Z równania Clapeyrona gdzie jest ciśnieniem na izobarze, i to objętości odpowiednio na początku i końcu tej przemiany. Stąd

Sprawność cyklu dana jest wzorem

Na rysunku a) pokazane są wektory sił oddziaływania sfer w przypadku jednoimiennych ładunków i co nie zmniejsza ogólności rozwiązania.

Jeżeli do układu dodamy drugą dużą półsferę, jak na rysunku b), również naładowaną ładunkiem to siła działająca na półsferę o promieniu będzie równa zeru, bo wewnątrz naładowanej sfery nie ma pola elektrycznego. Zatem półsfery o promieniach działają na małą półsferę siłami, które się równoważą.

Jeżeli małą półsferę uzupełnimy drugą, naładowaną ładunkiem jak na rysunku c), to na półsferę o promieniu będzie działała siła

Natężenie pola elektrycznego na zewnątrz sfery o promieniu naładowanej ładunkiem w odległości od jej środka ma wartość gdzie jest przenikalnością elektryczną próżni. Ciśnienie na dużą półsferę wynosi gdzie jest gęstością powierzchniową ładunku. Zatem siła działająca na dużą półsferę ze strony małej sfery dana jest wzorem

Szukana siła oddziaływania między półsferami ma wartość

Prędkość graniczna osiągana jest, gdy siła oporu zrównuje się z ciężarem ciała:

gdzie jest masą ciała, a przyspieszeniem ziemskim. Dla kuli o promieniu masa jest proporcjonalna do iloczynu a pole przekroju poprzecznego do Dla kul z tego samego materiału otrzymujemy więc:

a dla kul o tych samych rozmiarach (promieniach):

a) Kula cięższa (o większym promieniu) osiągnie prędkość razy większą niż kulka lżejsza;
b) Kula z materiału o większej gęstości (cięższa) osiągnie prędkość razy większą niż kulka lżejsza.

Liczba rozpadów jądra, jak każdy typ rozpadu, opisywana jest równaniem zawierającym wszystkie rodzaje procesów rozpadu. W przypadku U:

gdzie oznacza liczbę jąder atomowych w próbce, a stałe i dotyczą, odpowiednio, rozszczepienia i rozpadu Dla każdego z procesów wartość odpowiadającej mu stałej jest odwrotnością czasu połowicznego zaniku pomnożoną przez Z uwagi na ogromną wartość liczby Avogadro i niewielką liczbę zaobserwowanych rozpadów - co oznacza bardzo duży czas zaniku - możemy przyjąć, że liczba rozpadów Otrzymujemy dla rozszczepienia:

Podstawiając oraz 1 godzina to 1 rok/ otrzymujemy lat. W tym samym czasie 1 godziny w próbce zajdzie około rozpadów