Delta mi!

Dany jest trójkąt ostrokątny w którym Punkty i są odpowiednio środkami boków i a punkt jest spodkiem wysokości opuszczonej z wierzchołka Okrąg przechodzący przez punkty i jest styczny do okręgu opisanego na trójkącie w punkcie różnym od Udowodnić, że środek ciężkości trójkąta leży na prostej

Okrąg jest styczny do boków i trójkąta oraz do okręgu opisanego na tym trójkącie w punkcie Okrąg jest styczny do półprostych i oraz jest styczny zewnętrznie do okręgu opisanego na trójkącie w punkcie Wykazać, że

Trójkąt jest wpisany w okrąg Prosta jest równoległa do prostej i przecina odcinki i odpowiednio w punktach i a okrąg w punktach i (gdzie leży między punktami i ). Okrąg jest styczny do odcinków i oraz do okręgu ; okrąg jest styczny do odcinków i oraz do okręgu Wyznaczyć miejsce geometryczne punktów przecięcia wspólnych stycznych wewnętrznych okręgów i przy zmieniającym się położeniu prostej

Wykazać, że dla równoległoboku zachodzi równość

Punkt leży na boku trójkąta . Niech , , i . Dowieść, że (twierdzenie Stewarta).

Ustalmy półproste i mające wspólny początek które zostały podane w kolejności antyzegarowej. Prosta przecina je odpowiednio w punktach i Dowieść, że wartość wyrażenia nie zależy od wyboru prostej (niezmienniczość dwustosunku).

Dany jest prostokąt Punkty i leżą odpowiednio na odcinkach i przy czym trójkąt jest równoboczny. Dowieść, że suma pól trójkątów i jest równa polu trójkąta

Czworokąt wpisany jest w okrąg. Na tym okręgu leży punkt Udowodnić, że iloczyn odległości punktu od prostych i jest równy iloczynowi odległości punktu od prostych i

Punkty leżą odpowiednio na bokach trójkąta Spełnione są następujące równości:

Wykazać, że

W pięciokącie wypukłym zachodzą następujące równości:

Wyznaczyć miary kątów tego pięciokąta.

W trókjącie wpisanym w okrąg o środku kąt przy wierzchołku jest rozwarty oraz zachodzi równość Odcinki i przecinają się w punkcie Dwusieczne kątów i przecinają odcinek w punktach odpowiednio i Dowieść, że punkt jest środkiem odcinka

Znaleźć największe pole trójkąta o bokach gdzie jest punktem wewnątrz trójkąta równobocznego o boku 1.

Okręgi i przecinają się w punktach i Środek okręgu leży na okręgu i jest końcem jego średnicy Cięciwa okręgu niebędąca średnicą, przecina okrąg oraz odcinek odpowiednio w punktach oraz Prosta przechodząca przez równoległa do przecina odcinek w punkcie Dowieść, że prosta przechodzi przez środek odcinka

W czworokąt wypukły można wpisać okrąg. Przez środek każdego z odcinków poprowadzono proste prostopadłe do przeciwległych boków czworokąta Proste te ograniczają obszar będący czworokątem wypukłym. Wykazać, że w ten czworokąt również można wpisać okrąg.

Na czworokącie można opisać okrąg. Niech będzie punktem przecięcia przekątnych czworokąta. Załóżmy, że dwusieczna kąta przecina prostą w punkcie zaś prostą w punkcie ; niech ponadto dwusieczna kąta przecina prostą w punkcie zaś prostą w punkcie Udowodnić, że okręgi opisane na trójkątach mają punkt wspólny.

Dany jest kwadrat Punkty i leżące odpowiednio wewnątrz trójkątów i mają tę własność, że Wykazać, że

gdzie oznacza pole figury

Dany jest kwadrat Punkty i leżące odpowiednio wewnątrz trójkątów i mają tę własność, że Wykazać, że

Na bokach trójkąta ostrokątnego po jego zewnętrznej stronie, zbudowano trójkąty prostokątne równoramienne z kątami prostymi przy wierzchołkach Odcinki i przecinają się w punkcie Punkty i są środkami odcinków i Udowodnić, że każda z prostych jest prostopadła do prostej

Odrobina klasyki:

(a)

W kąt o wierzchołku wpisano dwa okręgi: styczny do ramion kąta w punktach i oraz - w punktach i Wykazać, że okręgi te wyznaczają cięciwy jednakowej długości na ich wspólnej siecznej

(b)

Na każdej wspólnej stycznej dwóch rozłącznych zewnętrznie okręgów zaznaczono odcinek łączący punkty styczności. Dowieść, że środki wszystkich czterech zaznaczonych odcinków leżą na jednej prostej.

(c)

Okręgi i przecinają się w punktach i Z punktu leżącego na prostej poprowadzono styczną do w punkcie i do w punkcie Udowodnić, że trójkąt jest równoramienny.

Dany jest trapez o podstawach i Okręgi o średnicach i przecinają się w punktach i Przekątne trapezu przecinają się w punkcie Dowieść, że punkty i leżą na jednej prostej.