Delta mi!

Każda oś symetrii wielokąta przechodzi przez środek ciężkości  jego wierzchołków, bo obrazem  w symetrii względem takiej osi jest on sam.

Rozważmy moment, gdy mucha, która przeszła cały obwód, jest w wierzchołku  trójkąta. Środek ciężkości pozostałych dwóch much jest w środku  odcinka pomiędzy nimi (Rys. a). Środek ciężkości  wszystkich much jest na odcinku  oraz  czyli  Stąd 

---

Analogiczne rozumowanie dla wierzchołków  i  prowadzi do wniosku, że jedynym możliwym położeniem  jest środek ciężkości trójkąta (Rys. b)

Umieśćmy w wierzchołkach  równe masy  Wtedy  gdzie  to środek . Środek ciężkości trójkąta  leży na środkowej ; analogicznie leży na pozostałych środkowych. Ponadto  czyli środkowe dzielą się w stosunku   licząc od wierzchołka.

Jeśli  jest wysokością  to  i  Stąd

czyli  Szukany środek ciężkości leży więc na  i analogicznie na wysokościach z  i z

Skoro  to Podobnie          Dodając stronami, uzyskujemy    czyli

Zauważmy, że  bo trójkąty te mają równe podstawy  i wspólną wysokość z Ponadto  (ponieważ ). Analogicznie  Stąd  Podobnie  i ostatecznie

Trójkąty  i  mają wspólną podstawę  i równe pola, więc też równe wysokości. Punkty  są po tej samej stronie prostej  stąd  Dla pozostałych przekątnych dowód jest analogiczny.

Zachodzą kolejno równości

przy czym  wynika z równoległości  a  z 

Trójkąty  i  mają wspólną podstawę i równe wysokości, więc też równe pola. Stąd

czyli

Trójkąty  i  mają wspólną wysokość z  więc

Podobnie  Stąd

czyli    Wobec tego

Okrąg  opisany na trójkącie  nie jest styczny do żadnego z dwóch danych okręgów (bo je przecina w punktach różnych od ). Zatem żaden z odcinków    nie jest jego średnicą; w takim razie żaden z kątów    nie jest prosty. Stąd wniosek, że żaden z punktów    nie leży na prostej  wobec czego prosta  nie przechodzi przez punkt

Mamy więc niezdegenerowany trójkąt  wpisany w okrąg  Wysokość poprowadzona z wierzchołka  lub jej przedłużenie, przecina okrąg  ponownie w punkcie  Ortocentrum trójkąta  leży w punkcie symetrycznym do  względem prostej  – czyli w punkcie

Punkty symetryczne do ortocentrum  względem boków  i  także leżą na okręgu ; oznaczmy je odpowiednio przez  i  (żaden z nich nie pokrywa się z  bo punkt  nie leży na prostej ).

Trójkąt  jest symetryczny do  więc    Ostatnia równość mówi, że  jest punktem okręgu o środku  przechodzącego przez  i  Skoro zaś leży na okręgu  i nie pokrywa się z  musi się pokrywać z  lub ; ustalmy oznaczenia (   ) tak, że  Analogicznie stwierdzamy, że      Tak więc  To znaczy, że punkty      leżą na okręgu o środku

Rozważmy wspólną styczną  okręgów  i  przechodzącą przez punkt  . Przecina ona prostą  w punkcie  Ponieważ  więc trójkąt  jest prostokątny. Wobec tego  jest średnicą okręgu  jako cięciwa, na której oparty jest kąt prosty  a średnica okręgu jest prostopadła do stycznej w swoim końcu.

Niech  będą środkami odcinków  Z twierdzenia Talesa wynika, że    i   Przez  oznaczamy punkt wspólny prostych  i  Analogicznie definiujemy punkty  i  Boki trójkątów  i  są odpowiednio równoległe, więc punkt  w którym przecinają się proste  i  jest środkiem jednokładności w skali  przekształcającej trójkąt  na trójkąt  (  leży też na prostej ).

Najpierw wywnioskujemy twierdzenie z lematu. Jednokładność o środku  w skali  przekształca okrąg  opisany na trójkącie  na okrąg  opisany na trójkącie  Środek okręgu  leży na prostopadłych do prostych  przechodzących przez wierzchołki  więc środek okręgu  leży na prostopadłych do prostych  przechodzących przez wierzchołki  Na mocy lematu (dowód w artykule) te prostopadłe są symetralnymi boków trójkąta  więc ich punkt wspólny to środek okręgu opisanego na trójkącie

Ustawmy trójkąt tak, by  było podstawą. Wtedy wierzchołek  leży na okręgu o środku  i promieniu 1. Pole trójkąta jest maksymalne, gdy wysokość z  jest maksymalna (bo podstawa  ma ustaloną długość 1), czyli gdy wysokość ta jest równa 1. Zachodzi to dla  czyli dla