Delta mi!

Przyjmijmy oznaczenia boków i kątów trójkąta  jak na rysunku i załóżmy, że

Wówczas  a stąd  ponieważ funkcja  jest malejąca na przedziale  Przyjmijmy, że  Wówczas z twierdzenia cosinusów otrzymujemy

Gdyby było  to ponieważ  mielibyśmy  co przeczyłoby założeniu, że trójkąt  jest równoboczny. W takim razie

Wybierzmy na boku  taki punkt  że

Wtedy  a skoro  to

więc na czworokącie  można opisać okrąg. Wobec tego

skąd  Z drugiej strony,

więc również  Zatem

Obróćmy kwadrat o   wokół środka. Obrazem trójkąta  jest trójkąt  zatem  Analogicznie  Stąd

Obróćmy kwadrat o   wokół wierzchołka  niech  będzie obrazem punktu  Wtedy  zatem

Ponadto  więc  bo trójkąty te mają dodatkowo wspólny bok  Stąd

Z rozwiązania zadania 2 wiemy, że  Wysokości tych trójkątów poprowadzone z wierzchołka  są więc obie równe  czyli 1.

Punkty  leżą na jednym okręgu, bo  i punkty  leżą po tej samej stronie prostej  Kąt  jest prosty, więc  jest średnicą tego okręgu. Stąd  zatem  jest wysokością trójkąta  Analogicznie  jest wysokością tego trójkąta, więc  to jego ortocentrum. Wobec tego  jako trzecia wysokość, jest prostopadła do

Niech  będzie punktem styczności prostej  do danego okręgu. Wtedy  oraz zatem  oraz  Stąd

Na mocy rozwiązania zadania 6 wiemy więc, że

Stąd wniosek, że punkty  i   leżą na okręgu o średnicy  Leży na nim też punkt  bo

Obróćmy kwadrat o   wokół środka. Obrazem punktu  jest taki punkt  na boku  że  Obrazem prostej  jest prosta  jest ona prostopadła do  więc zawiera punkt  Opiszmy okrąg na prostokącie  jego średnicą jest  Punkt  leży na tym okręgu, ponieważ kąt  jest prosty. Średnicą okręgu jest także  więc również kąt  jest prosty.

Oznaczmy miary kątów trójkąta  przy wierzchołkach  i  przez  i  a miary kątów trójkąta  przy wierzchołkach  i  przez  i

Kąty  i   jako kąty zewnętrzne trójkątów  i   są związane zależnością

Niech  będzie dowolnym punktem na przedłużeniu boku  poza wierzchołek  Kąty  i   jako kąty zewnętrzne trójkątów  i   wyrażają się jako sumy:  Tak więc

Stąd  Zatem jeśli trójkąt  z kątem rozwartym przy wierzchołku  jest równoramienny, to  Z uzyskanych wcześniej równości dostajemy wówczas  czyli równoramienność trójkąta

Skoro punkt  jest środkiem  jego odległość od prostej  to średnia arytmetyczna odległości punktów  i   od  Jest ona równa średniej arytmetycznej odległości tych punktów od  ponieważ  i   Zatem  jest równo odległy od  i   skąd  oraz

Niech  będzie takim punktem na półprostej  że  Z podobieństwa trójkątów równoramiennych  i   mamy  Zatem skoro na czworokącie  można opisać okrąg, to

Wobec tego  co daje tezę.

Jeśli taki punkt  istnieje, to  jest dwusieczną kąta zatem z twierdzenia o dwusiecznej  Punkty  i  leżą więc na okręgu Apoloniusza dla punktów  i stałej 1/2. Analogicznie punkty  i   leżą na okręgu Apoloniusza dla punktów  i stałej 1/3.

Niech punkt  na prostej  różny od  spełnia warunek  Wtedy

oraz

zatem punkt  należy do obydwu powyższych okręgów. Średnicą pierwszego z nich jest więc  a drugiego – Stąd jedynym ich wspólnym punktem jest  czyli  Ale wtedy  leży na prostej – sprzeczność.

Ponieważ  dla  więc wszystkie punkty  leżą na sferze Apoloniusza dla punktów  i stałej 2 (zdefiniowanej analogicznie do okręgu). Jej średnicę wyznaczają punkty  na prostej  spełniające warunek  dla  Wówczas

Wobec tego  także jest średnicą rozważanej sfery. Stąd kąt  jest prosty, jako wpisany oparty na średnicy. Proste  i   przecinają się (w środku sfery), więc punkty  leżą na jednej płaszczyźnie.

Niech  oznaczają odpowiednio rzuty punktów  na płaszczyznę  Dla punktu  różnego od  i  równość  zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy trójkąty prostokątne  i  są podobne. Równoważnie,  Jeśli  to punkty  o żądanej własności tworzą okrąg Apoloniusza dla punktów  i stałej  Jakie jest rozwiązanie, gdy  Czy możliwe, by

Rys. 1

Punkty  i  leżą na okręgu Apoloniusza dla punktów  i stałej  Z symetrii względem prostej  punkt  też na nim leży (Rys. 1).

Rys. 2

Łuki  i   są równe, więc  jest dwusieczną kąta  Jednocześnie  jest też dwusieczną kąta (własność z początku artykułu, Rys. 2, stąd