Delta mi!

Dana jest triangulacja pewnego -kąta. Wykazać, że jego wierzchołki można tak pokolorować trzema kolorami, aby każde dwa punkty połączone bokiem lub jedną z narysowanych przekątnych miały różny kolor.

Dana jest triangulacja pewnego -kąta o tej własności, że w każdym wierzchołku tego trójkąta schodzi się nieparzysta liczba trójkątów tej triangulacji. Wykazać, że jest liczbą podzielną przez 3.

Dana jest triangulacja pewnego -kąta, przy czym Na czarno malujemy wszystkie trójkąty tej triangulacji, których dokładnie jeden bok jest przekątną danego -kąta, a na biało - wszystkie trójkąty tej triangulacji, których wszystkie trzy boki są przekątnymi danego -kąta. Wykazać, że liczba czarnych trójkątów jest o większa od liczby białych trójkątów.

Dowieść, że różnych okręgów dzieli płaszczyznę na co najwyżej obszarów.

Wykazać, że dla możemy tak umieścić w wierzchołkach -kąta foremnego różne liczby od do by wartość bezwzględna różnicy liczb z każdych dwóch sąsiednich wierzchołków była kwadratem liczby naturalnej.

Okrąg jest częścią wspólną sfer i Trzy różne punkty i leżą na okręgu Punkt leży na sferze na zewnątrz sfery Prosta przecina sferę w punkcie ; analogicznie określamy punkty i Dowieść, że płaszczyzna przechodząca przez punkt i styczna do sfery jest równoległa do płaszczyzny

Dany jest czworościan Punkt jest środkiem okręgu wpisanego w trójkąt Punkt leży na odcinku i spełnia warunek

Proste i przecinają się w punkcie Dowieść, że prosta przechodzi przez środek odcinka

Prostopadłościan ma krawędzie długości i Wyznaczyć najkrótszą drogę łączącą dwa przeciwległe wierzchołki tego prostopadłościanu, biegnącą po jego powierzchni.

Suma miar kątów płaskich przy wierzchołku nienależącym do podstawy ostrosłupa jest równa Dowieść, że obwód podstawy tego ostrosłupa jest nie mniejszy od długości każdej jego bocznej krawędzi.

W czworościanie zachodzą równości

Dowieść, że

Odcinek jest wysokością czworościanu w którym zachodzą równości

Niech będzie środkiem okręgu opisanego na trójkącie zaś środkiem ciężkości tego trójkąta. Dowieść, że punkty i leżą na jednej prostej.

Prosta przechodząca przez środek sfery wpisanej oraz środek sfery opisanej na czworościanie przecina krawędź Wykazać, że miary kątów i są równe lub sumują się do

W czworościanie wszystkie wewnętrzne kąty dwuścienne są ostre. Punkt leży wewnątrz tego czworościanu, a jego odległość od każdej z płaszczyzn i jest większa niż Dowieść, że przynajmniej dwa spośród odcinków mają długość większą niż

Punkty leżą odpowiednio na bokach trójkąta przy czym

Odcinki i przecinają się w punkcie Wykazać, że punkty leżą na jednym okręgu.

Dany jest trójkąt w którym wysokość opuszczona z wierzchołka ma długość Na każdym odcinku łączącym wierzchołek z bokiem odkładamy odcinek ustalonej długości Uzyskane w ten sposób punkty tworzą pewną krzywą. Czy - jeśli liczba jest dostatecznie mała - długość owej krzywej przekroczy długość boku

Żadne trzy przekątne -kąta wypukłego nie przecinają się w jednym punkcie. Ile jest punktów przecięcia się przekątnych wewnątrz tego wielokąta?

Jeden punkt czerwony oraz punktów niebieskich leży na wspólnym okręgu. Których wielokątów jest więcej: posiadających wyłącznie niebieskie wierzchołki, czy tych, które posiadają jeden czerwony wierzchołek, a pozostałe niebieskie?

Nazwijmy -kąt miodowym, jeśli można go rozciąć na sześciokąty foremne o boku 1. Dowieść, że liczba różnych (nieprzystających) -kątów miodowych nie przekracza

Przypuśćmy, że pchła z szóstego zadania podróżuje niekoniecznie najkrótszą drogą, ale w każdym punkcie może się znaleźć najwyżej raz. Dowieść, że liczba różnych możliwych dróg pchły nie przekracza

Niech będzie liczbą naturalną. Spośród wierzchołków -kąta foremnego wybieramy trzy, które wyznaczają trójkąt rozwartokątny. Na ile sposobów można to zrobić?