Delta mi!

Zbudujmy taki trójkąt równoboczny że punkt leży w jego wnętrzu. Wówczas punkty i leżą na symetralnej odcinka więc Ponadto

W takim razie trójkąty i są przystające, w szczególności Stąd łatwo otrzymujemy

Punkty są położone na bokach symetrycznie (względem środków owych boków) do punktów w których okrąg wpisany jest do boków styczny. Przyjmijmy oznaczenia:

Oznaczając pole trójkąta nawiasem kwadratowym, uzyskujemy ciąg równości

Zastępując w liczniku przez otrzymujemy po krótkim rachunku wzór

(*)

Pozostaje teraz skorzystać ze znanych wzorów, wyrażających pole trójkąta (jak zwykle, i to promienie okręgów wpisanego i opisanego):

Dostajemy związki oraz które po wprowadzeniu do równości dają tezę zadania.

Niech będzie punktem przecięcia prostej z prostą a różnym od punktem przecięcia tej prostej z okręgiem opisanym na trójkącie (rysunek). Wówczas oraz

W takim razie trójkąty i są podobne, w szczególności Stąd prosta jest prostopadła do a więc również równoległa do - symetralnej Analogicznie proste i są równoległe. W takim razie odcinki i przecinają się w połowie jako przekątne równoległoboku.

---

W podobny sposób możemy pokazać, że prosta przechodzi przez środek odcinka co daje tezę.

Niech będzie punktem przecięcia przekątnych danego równoległoboku. Wówczas jest środkiem odcinka i odcinki przecinają się w jednym punkcie jako środkowe trójkąta

Z warunku wynika, że punkt jest środkiem łuku danego okręgu i kąty wpisane i są równe. Prosta jest więc dwusieczną kąta w trójkącie ; analogicznie proste i są dwusiecznymi pozostałych kątów tego trójkąta.

Niech będzie takim punktem boku że wtedy Wówczas punkty i są symetryczne względem dwusiecznej kąta zatem prosta jest symetralną odcinka Analogicznie prosta jest symetralną odcinka Symetralne boków trójkąta przecinają się w punkcie a stąd

Niech i będą punktami przecięcia prostej odpowiednio z prostymi i Wobec równości kątów, trójkąty i są równoramienne i podobne, a stąd Symetralna boku jest jednocześnie dwusieczną kąta przy wierzchołku w trójkącie a więc także w trójkącie Podobnie symetralna odcinka jest dwusieczną kąta zatem jest punktem przecięcia dwusiecznych trójkąta równoramiennego Dwusieczna jest więc prostopadła do podstawy

Obróćmy kwadrat o wokół środka tak, by punkt przeszedł na punkt natomiast kwadrat o wokół swojego środka tak, by punkt przeszedł na punkt Przy obydwu tych obrotach odcinek przechodzi na ten sam odcinek o końcu w punkcie prostopadły do i równy Nazwijmy drugi jego koniec wówczas punkty są współliniowe.

Przy pierwszym obrocie odcinek przechodzi na stąd Przy drugim obrocie odcinek przechodzi na zatem Wobec tego proste są wysokościami trójkąta

"Potnijmy" sześciokąt wzdłuż odcinków łączących jego wierzchołki ze środkiem okręgu opisanego i z otrzymanych sześciu trójkątów "ułóżmy" nowy sześciokąt jak na rysunku.

Okręgi opisane na obu sześciokątach mają jednakowe promienie.

Niech oznacza środek okręgu opisanego na sześciokącie Z przystawania czworokątów i wiemy, że kąty wewnętrzne sześciokąta są przystające, mają więc po Z twierdzenia cosinusów dla trójkąta otrzymujemy Trójkąt jest trójkątem równoramiennym o kącie w wierzchołku Stąd możemy obliczyć szukany promień, równy

Jeśli kąt jest prosty, to jest dwusieczną kąta przyległego do kąta czworokąta. Z kolei aby dowieść, że kąt jest prosty, wystarczy wykazać, że jest dwusieczną kąta przyległego do kąta czworokąta.

---

Oznaczmy przez odległość punktu od prostej Zachodzą równości oraz co kończy dowód.

Z prostopadłości cięciwy do średnicy wynika, że krótsze łuki i są równe, a więc półprosta jest dwusieczną kąta wpisanego Kąt jest wpisany w okrąg i oparty na średnicy, zatem czyli półprosta jest z kolei dwusieczną kąta zewnętrznego przy wierzchołku trójkąta Z twierdzenia o dwusiecznej

Oznaczmy przez ortocentrum trójkąta przez środek okręgu wpisanego w trójkąt a przez punkt przecięcia prostych i Ponieważ więc półprosta jest dwusieczną kąta i do zakończenia dowodu wystarczy wykazać, że półprosta jest dwusieczną kąta

Kąt jest prosty, więc punkty i punkt styczności okręgu wpisanego w trójkąt z bokiem tworzą kwadrat. Stąd

Korzystając kolejno z twierdzenia Talesa dla równości odcinków, twierdzenia Talesa dla i twierdzenia o dwusiecznej, uzyskujemy

Stąd na mocy twierdzenia o dwusiecznej jest dwusieczną kąta