Delta mi!

Punkt przecięcia prostych i oznaczmy przez a punkt przecięcia prostych i - przez Przyjmijmy ponadto oznaczenia: (więc ); Dzięki równoległości mamy podobieństwa z których wynikają proporcje

Zadanie sprowadza się do wykazania, że czyli że

Twierdzenie Menelausa (dla trójkąta przeciętego prostą ) daje równość

Z niej kolejno wyznaczamy

i otrzymujemy

czyli to, o co chodziło.

(a)

Przy oznaczeniach jak na rysunku (a), korzystając z twierdzenia Pitagorasa, otrzymujemy oraz więc

---

(b)

Nie jest to jednak jedyne rozwiązanie! Oś symetrii deltoidu może zawierać jego krótszą przekątną (rys. (b)). Wówczas co prowadzi do równości oraz

Trójkąt jest ostrokątny,

Trójkąty z rysunku mają równe pola i nie są przystające. Niech będą obrazami w symetrii odpowiednio względem i Wówczas deltoidy i spełniają warunki zadania: mają równe pola i odpowiednie boki oraz nietrudno sprawdzić, że są nieprzystające i wypukłe.

Jeśli w dany czworokąt da się wpisać okrąg, to można go rozciąć na cztery deltoidy, jak na lewym rysunku obok, a następnie jeden z nich na kolejne cztery (bo w każdy deltoid wypukły można wpisać okrąg), łącznie uzyskując siedem deltoidów.

Jeśli zaś w dany czworokąt nie da się wpisać okręgu, to wpiszmy mały okrąg w dowolny z jego kątów i powiększajmy ten okrąg, aż dotknie jednego z pozostałych boków. Pozwala to podzielić dany czworokąt na czworokąt opisany na okręgu i trójkąt, a następnie na siedem deltoidów, jak na rysunku obok.

Niech będą punktami styczności sfery wpisanej w czworościan ze ścianami odpowiednio Wówczas i jako odcinki stycznych do tej sfery, więc po rozpłaszczeniu jest deltoidem. Podobnie uzyskujemy pozostałe deltoidy.

Tak (rysunek). Inny przykład to czworokąt utworzony przez cztery z wierzchołków pięciokąta foremnego.

Odpowiedź:

Niech i będą punktami symetrycznymi do punktów i odpowiednio względem prostych i Z danych w treści zadania równości kątów wynika, że punkty leżą na jednej prostej, a zatem

W połączeniu z oznacza to, że trójkąt jest równoboczny. W konsekwencji, wobec równości kątów uzyskujemy

Niech będzie zbiorem węzłów należących do boku

Zauważmy, że każda czwórka różnych punktów z jednoznacznie wyznacza równoległobok o zadanych własnościach, którego punktami przecięcia z są te cztery punkty i którego "najniższy" wierzchołek nie leży na Z kolei każda trójka różnych punktów z jednoznacznie wyznacza taki równoległobok, którego "najniższy" wierzchołek leży na

Z drugiej strony boki każdego równoległoboku spełniającego zadane warunki przecinają prostą w trzech lub czterech punktach i są to punkty należące do Stąd wniosek, że szukana liczba równoległoboków jest równa łącznej liczbie wyborów trzech lub czterech elementów zbioru -elementowego, czyli

Trójkąt równoboczny o wierzchołkach w węzłach nazwijmy czapeczką, jeżeli oraz punkty i leżą po tej samej stronie prostej

Każdemu trójkątowi spełniającemu warunki zadania, przyporządkujmy najmniejszą zawierającą go czapeczkę. Precyzyjniej: jeżeli jest czapeczką, to przyporządkowujemy mu siebie samego, natomiast w przeciwnym przypadku - czapeczkę ograniczoną prostymi: równoległą do przechodzącą przez wierzchołek leżący najbliżej równoległą do przechodzącą przez wierzchołek leżący najbliżej oraz równoległą do przechodzącą przez wierzchołek leżący najbliżej

Każdej czapeczce o boku zostało w ten sposób przyporządkowanych dokładnie trójkątów spełniających warunki zadania. Co więcej, liczba czapeczek o boku jest równa

Wobec tego szukana liczba trójkątów równobocznych to

przy czym równość ta wynika z następującej obserwacji. Czteroelementowy podzbiór zbioru którego drugim co do wielkości elementem jest można wybrać na dokładnie sposobów (wybierając najmniejszy element spośród oraz dwa większe od spośród ). Sumując po wszystkich możliwych uzyskujemy liczbę sposobów wyboru spośród elementów.

Z założenia, że jest najmniejszym kątem czworokąta nietrudno wywnioskować, że punkt leży między i a punkt między i Weźmy pod uwagę okrąg o średnicy ; ów okrąg przechodzi przez punkt (bo ) oraz przecina odcinek w punkcie, który nazwiemy ; zatem

Każdy z czworokątów i ma okrąg opisany. Wynikają stąd równości kątów Zatem trójkąt jest równoramienny.

Niech będzie środkiem odcinka Skoro jest środkiem odcinka prosta jest równoległa do prostej - która jest prostopadła do To znaczy, że prosta jest symetralną podstawy trójkąta równoramiennego ; przechodzi więc przez punkt i mamy tezę