Delta mi!

Przeprowadźmy daną elipsę afinicznie na okrąg o promieniu obrazem punktu jest środek okręgu Czworokąt jest opisany na okręgu, zachodzi więc równość

Mnożąc obie strony przez uzyskujemy tezę dla okręgu. Przekształcenia afiniczne zachowują równość pól, zatem teza zachodzi także dla wyjściowej elipsy.

Opiszmy na elipsie prostokąt o bokach długości i równoległych do jej półosi. Powinowactwo prostokątne o skali i o osi zawierającej dużą półoś elipsy przekształca nasz prostokąt na kwadrat, a elipsę na koło weń wpisane. Stąd stosunek pola elipsy do pola prostokąta równy jest stosunkowi pola koła do pola kwadratu na nim opisanego, czyli Wobec tego

W myśl uwagi poprzedzającej zadania, wystarczy rozważyć kwadrat. Odcinek powstaje z odcinka przez obrót o wokół środka kwadratu, zatem więc także Stąd punkt przecięcia prostych i leży na okręgu opisanym na kwadracie. Ponadto skoro to punkt musi należeć do tego łuku okręgu, który zawiera Wobec tego Na mocy wynika stąd, iż czyli Zatem proste przecinają się w jednym punkcie

Zauważmy, że kąt zewnętrzny ma miarę - dwa razy większą od kąta Zatem punkt leży na okręgu o środku i promieniu skąd

Ponieważ trójkąty i są przystające, to

W takim razie punkty leżą na jednym okręgu. Stąd trapez jest równoramienny, w szczególności

Punkty leżą więc na okręgu o środku i promieniu Innymi słowy, punkt jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie i jednocześnie jest środkiem boku tego trójkąta. Ten trójkąt musi zatem mieć kąt prosty przy wierzchołku

Niech będzie takim punktem na odcinku że oraz niech będzie takim punktem na odcinku że

Ponieważ więc trójkąt jest równoboczny. Podobnie trójkąt jest równoboczny. Zauważmy, że

Skoro to więc Zatem trójkąty są przystające (cecha bkb). W szczególności

Z Twierdzenia Pascala dla sześciokąta punkty oraz są współliniowe.

Niech Z Twierdzenia Pascala dla sześciokąta punkt leży na prostej wyznaczonej przez punkty oraz Z kolei z Twierdzenia Pascala dla punkt także leży na prostej wyznaczonej przez punkty oraz

Z warunku wynika, że punkt leży na okręgu Z Twierdzenia Pascala dla sześciokąta uzyskujemy współliniowość punktów oraz niezależnego od i punktu co kończy dowód.

Oznaczmy oraz Z równoramienności trójkąta oraz danych równości kątów wynika, że Ponieważ oba punkty leżą po tej samej stronie prostej oznacza to, że punkty leżą na jednym okręgu.

Obliczając pole trójkąta  na dwa sposoby, mamy

skąd

---

przy czym równość zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy  Kąt   jest ostry, więc ma maksymalną wartość, gdy  ma minimalną wartość, którą wyznaczyliśmy powyżej. Zatem kąt   jest maksymalny dla

Przyjmijmy, że bok kwadratu  ma długość  a kwadratów – odpowiednio (stąd ). Niech środek układu współrzędnych będzie ustawiony w środku kwadratu  a osie niech będą równoległe do jego boków (jak na rysunku). Oznaczmy środek kwadratu  przez  dla

Mamy  więc  Podobnie, skoro  oraz  to otrzymujemy
 Stąd w oczywisty sposób dostajemy

Zauważmy, że wykazaliśmy nawet więcej. Z rozwiązania wynika również, że

Skoro prosta  jest prostopadła do  to jako bloki z definicji można przyjąć okręgi o średnicach  i   gdyż są prostopadłe do  i przechodzą przez  Oczywiście, sama prosta  też się do tego celu nadaje.

Niech  będzie okręgiem o średnicy  Okręgi  są do niego prostopadłe, a zatem punkty  są symetryczne względem  Stąd już wynika, że są współliniowe z punktem  jako środkiem tego okręgu – prosta poprowadzona z   do punktu  jest prostopadła do  więc musi przechodzić przez punkt

Przeprowadźmy symetrię względem dowolnego okręgu o środku w  ; obraz każdej z figur oznaczmy przez dodanie znaku prim. Na podstawie własności 1 możemy zauważyć, że figury z zadania zamieniły się rolami: okręgi  i   przecinają się w punktach  i   prosta  jest styczna do tych okręgów w punktach  okrąg  jest opisany na trójkącie  proste  i   są styczne do  w punktach  oraz przecinają się w punkcie

Dzięki własności 3 wiemy, że punkt  jest symetryczny do punktu  względem okręgu  co na mocy zadania 1 oznacza, że jest środkiem odcinka  W ten sposób otrzymaliśmy konfigurację z zadania 2, a zatem punkty  są współliniowe. Obrazem prostej  jest prosta  co kończy rozwiązanie.