Delta mi!

Punkty leżą odpowiednio na bokach trójkąta Okręgi wpisane w trójkąty są styczne do okręgu wpisanego w trójkąt Udowodnij, że proste przecinają się w jednym punkcie.

Czworokąt jest wpisany w okrąg o środku   Punkty  to ortocentra trójkątów, odpowiednio, , , ,  Wykaż, że czworokąty  i są przystające.

Okręgi są styczne odpowiednio do par boków  i  ,  i  oraz  i  trójkąta . Okrąg  jest styczny zewnętrznie do okręgów odpowiednio w punktach Wykaż, że proste , , przecinają się w jednym punkcie.

Okręgi  i  są rozłączne zewnętrznie i wpisane w kąt o wierzchołku  . Okrąg  jest styczny zewnętrznie do okręgów  i  odpowiednio w punktach  i  Udowodnij, że punkty są współliniowe.

Okręgi są rozłączne zewnętrznie. Te dwie styczne do i  , które nie rozdzielają tych okręgów, przecinają się w punkcie  Analogicznie definiujemy punkty  i  Wykaż, że punkty są współliniowe.

Punkty leżą odpowiednio na bokach kwadratu o boku  . Wyznaczyć najmniejszy możliwy obwód czworokąta .

Dany jest okrąg o środku oraz punkt leżący na tym okręgu. Cięciwa przecina odcinek w punkcie różnym od punktu Wykaż, że

Dany jest czworokąt wypukły w którym oraz Dwusieczna kąta  przecina bok  w punkcie  Odcinki i  przecinają się w punkcie  Wykazać, że trójkąt jest równoramienny.

Na bokach dowolnego trójkąta zbudowano, na zewnątrz, trójkąty równoboczne. Udowodnij, że ich środki tworzą trójkąt równoboczny.

Trójkąty równoboczne i  są zorientowane antyzegarowo. Punkty i  są środkami odpowiednio odcinków i  Udowodnij, że trójkąt jest równoboczny i zorientowany zegarowo.

Dane są punkty  i  Punkt  jest dowolnym punktem ustalonej półpłaszczyzny wyznaczonej przez prostą  Na bokach trójkąta zbudowano, na zewnątrz, kwadraty i  . Wykaż, że wszystkie tak otrzymane proste  przechodzą przez pewien ustalony punkt, zależny tylko od położenia  i  .

Na bokach i  trójkąta zbudowano, po jego zewnętrznej stronie, kwadraty i  . Punkty  i  są odpowiednio środkami odcinków i  . Wyznacz możliwe wartości wyrażenia

[Zadanie to pochodzi z LIII Olimpiady Matematycznej.]