Delta mi!

Oznaczmy przez  odpowiednio punkty styczności podstaw  z okręgiem. Wtedy  oraz  przechodzi przez punkt  Z twierdzenia Brianchona dla czworokąta,  przechodzi też przez punkt  Trójkąty  i  są podobne, więc  oraz

Z twierdzenia Brianchona dla zdegenerowanego sześciokąta  proste  przecinają się w jednym punkcie Z twierdzenia Talesa ponieważ  oraz  więc

---

Stąd i z twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Talesa mamy

Oznaczmy środki okręgów wyznaczonych przez trójki punktów ; ;  odpowiednio przez  Niech  będzie takim punktem, że  jest rombem. Zauważmy, że czworokąty      są rombami o boku długości  Wobec tego  a z definicji punktu  zachodzi  więc  Ponieważ są to odcinki długości  to także  jest rombem o boku długości  Zatem  czyli punkty  leżą na okręgu o środku w punkcie  i promieniu

Środek  odcinka pomiędzy punktami styczności  i  ma jednakową potęgę  względem każdego z okręgów, więc leży na ich osi potęgowej.

Niech  oraz Prosta  jest styczna do  bo Stąd

więc  leży na osi potęgowej  i  Ponadto

więc  także leży na osi potęgowej  i  Oś potęgowa  okręgów  i  jest prostopadła do prostej  łączącej ich środki.

Proste te są osiami potęgowymi, więc teza wynika z twierdzenia 2.

Niech    oraz Punkt  należy do  i  więc osią potęgową tych okręgów jest rozważana w zadaniu prosta przechodząca przez  i prostopadła do prostej  łączącej ich środki. Pozostałe rozważane proste są osiami potęgowymi okręgów  i  oraz  i  Środki  okręgów nie są współliniowe, więc osie potęgowe przecinają się w jednym punkcie.

Załóżmy najpierw, że punkt  jest taki, że trójkąt  jest równoboczny. Wówczas trójkąty  i  są przystające, gdyż są podobne i   Ponieważ obrazem odcinka  przy obrocie o kąt  (skierowany zgodnie z kątem ) względem punktu  jest odcinek  więc obrazem trójkąta  jest trójkąt  Zatem kąt  ma miarę  a ponadto  więc trójkąt  jest równoboczny.

---

Są dwa punkty  dla których trójkąt  jest równoboczny. Łatwo sprawdzić, że dla nich trójkąt  jest też równoboczny. Zatem są to wszystkie szukane punkty.

Umieśćmy w punktach  i  masy  a w  i  masy  takie, by  (da się takie masy dobrać). Wtedy  Wobec tego

Jednocześnie  oraz  więc

Niech      Umieśćmy w  odpowiednio masy  i wyznaczmy środek ciężkości  tego układu.    więc  leży na prostej  Jednocześnie  więc  leży też na prostej  Stąd 

Umieśćmy teraz dodatkowo masę  w punkcie  i masę  w punkcie  wtedy  Niech  będzie środkiem ciężkości „starych” i „nowych” mas, wtedy  leży na prostej  łączącej ich środki ciężkości.

Z twierdzenia o dwusiecznej,  jest jej spodkiem dla  Leży więc na niej punkt  Analogicznie leży on też na pozostałych dwusiecznych kątów trójkąta, jest zatem środkiem okręgu wpisanego. Stąd  co kończy dowód.

Okrąg  jest wpisany w romb  Prosta  styczna do okręgu  przecina odcinki  i  odpowiednio w punktach  i  Wykaż, że wartość iloczynu  nie zależy od wyboru stycznej

Niech  oznacza środek okręgu  (jest to jednocześnie punkt przecięcia przekątnych rombu).

Ponieważ proste  i  są styczne do okręgu  więc

Analogicznie

Z równości  otrzymujemy również, że  Sumując kąty czworokąta  otrzymujemy  skąd  W takim razie

Z równości odpowiednich kątów otrzymujemy, że trojkąty  i  są podobne, skąd mamy

W takim razie iloczyn  jest stały i wynosi

Z nierówności między średnią arytmetyczną i kwadratową mamy

Obwód czworokąta jest maksymalny, gdy maksymalna jest suma  Powyżej zachodzi równość wtedy i tylko wtedy, gdy  i   czyli wtedy i tylko wtedy, gdy prosta  tworzy z półprostą  kąt