Delta mi!

Odpowiedź: lub dla

Zauważmy, że jeżeli -trójkąt można ułożyć z płytek, to jest on złożony z podzielnej przez liczby sześciokątów foremnych o boku co oznacza, że liczba

jest całkowita, czyli daje resztę 0 lub przy dzieleniu przez

Z drugiej strony -trójkąt oraz -trójkąt można ułożyć z płytek. Ponadto dla każdego z -trójkątów oraz -trójkątów można ułożyć -trójkąt, a z -trójkątów oraz -trójkątów można ułożyć -trójkąt (rysunki 3 i 4; ).

Poprowadźmy proste równoległe do pewnego boku kwadratu przez wszystkie wierzchołki wielokąta - dzielą one na pewną liczbę trapezów i trójkątów Niech będzie odcinkiem łączącym środki tych boków wielokąta które nie są równoległe do poprowadzonych prostych, a - wysokością prostopadłą do Wówczas

dla oraz

gdzie oznacza pole figury Zauważmy, że gdyby każdy z odcinków miał długość nie większą od to uzyskalibyśmy nierówność

która stoi w sprzeczności z Wobec tego dla pewnego mamy czyli zawiera odcinek o postulowanej własności.

Trójkąty mają podstawy równe i wspólną wysokość z

gdyż oraz

Odcinki i są środkowymi odpowiednio w trójkątach i Stąd i z zadania 1 mamy Podobnie Zatem co, po odjęciu od obu stron ich części wspólnej, kończy dowód.

Z zadania 1 mamy gdyż jest środkową w trójkącie Analogicznie i Ale także bo jest środkową trójkąta co wobec powyższego daje Podobnie

Można przyjąć, że leży wewnątrz lub na brzegu trójkąta Wtedy jeśli to Z treści zadania wynika, że a z zadania 4 wiemy, że Stąd więc

Niech przekątne równoległoboku mają wspólny środek Odcinki i oraz i są zatem środkowymi odpowiednio w trójkątach i Trójkąty te mają pola równe i na mocy zadania 4 ich środkowe dzielą każdy z nich na sześć trójkątów o równych polach. Stąd Ponadto podobnie więc też

X' oznacza obraz punktu X.

Obróćmy trójkąt o wokół punktu Boki trójkąta mają długości oraz

X' oznacza obraz punktu X.

(a) Niech Obróćmy trójkąt o wokół punktu Trójkąt ma wówczas boki o długościach oraz jest więc prostokątny. Stąd jego pole równe jest Jednocześnie na mocy zadania 4 wiemy, że pole to równe jest pola trójkąta zatem

Wykażemy, że szukanym zbiorem jest wysokość trójkąta poprowadzona z wierzchołka

Z jednej strony, dla każdego punktu tej wysokości mamy

Z drugiej strony, przypuśćmy, że punkt wnętrza trójkąta równobocznego jest taki, że

Oznaczmy przez obraz punktu w obrocie wokół przeprowadzającym na Wówczas trójkąt jest równoboczny.

Oznaczmy przez obraz punktu w obrocie wokół przeprowadzającym na Wówczas trójkąt jest równoboczny.

Zauważmy, że

skąd i To oznacza, że punkt leży na symetralnej odcinka czyli na wysokości trójkąta opuszczonej z

Czworokąt jest równoległobokiem. Niech prosta przecina okrąg, opisany na trójkącie w punktach i (gdy jest styczna, przyjmujemy ). Powstaje trapez równoramienny lub (gdy - trójkąt równoramienny). W każdym przypadku

Trójkąt z założenia nie jest prostokątny, więc żaden jego bok nie pokrywa się ze średnicą na której oparty jest kąt prosty ; a ponieważ zatem To znaczy, że w trójkącie równoramiennym prosta jest symetralną boku W konsekwencji trójkąt jest względem niej symetryczny do trójkąta Okręgi opisane na tych trójkątach są przystające; to już teza, bo drugi z tych okręgów jest też opisany na trójkącie

Oznaczmy przez punkt symetryczny do względem czyli taki punkt, że odcinek jest średnicą okręgu opisanego na trójkącie Wówczas wobec czego oraz Stąd oraz a zatem

gdzie oznacza pole figury Ponieważ punkt jest środkiem odcinka więc oraz i w konsekwencji

Ostatecznie więc co jest równoznaczne z tezą zadania.

Wiemy, że symetria względem zamienia punkty i oraz punkty i Symetralna odcinka jest do niego prostopadła, przechodzi przez jego środek i przez - środek okręgu, w którym jest cięciwą. Jej obrazem w symetrii względem jest więc prosta prostopadła do przechodząca przez (czyli wysokość trójkąta ) i przez Analogicznie wysokość trójkąta z wierzchołka też przechodzi przez co kończy dowód.

Proste i są wysokościami trójkąta więc też jest.

Niech oznacza środek ciężkości trójkąta Wówczas jednokładność o środku i skali -2 przeprowadza środek odcinka na punkt Wobec tego przy tej jednokładności obrazem prostej przechodzącej przez tenże środek i prostopadłej do jest prosta przechodząca przez punkt i prostopadła do czyli prosta przechodząca przez środek okręgu wpisanego w trójkąt Analogicznie obrazami pozostałych opisanych w zadaniu prostych też są proste przez Stąd również wyjściowe proste są współpękowe.