Jak wiadomo, piwo jest nasycone dwutlenkiem węgla. Dopóki jest ono zamknięte w butelce (choć niektórzy wolą piwo z puszki) pod zwiększonym ciśnieniem, nic ciekawego się nie dzieje. Jednak w momencie gdy ją otworzymy, ciśnienie w butelce zmniejsza się na tyle, że uwalnia się w postaci pęcherzyków tworzących się na dnie i ściankach szklanki. Piwo, zaraz po otwarciu butelki znajduje się w stanie niestabilnym. Właśnie zmiana ciśnienia powoduje, że „woli” przechodzić w stan gazowy niż pozostawać rozpuszczone w piwie. Bąbelki tworzą się na drobnych nierównościach na powierzchni szklanki (to trochę tak, jak para wodna w chmurach kondensuje się na pyłkach znajdujących się w powietrzu i spada w postaci deszczu). Można sprawdzić, że po wsypaniu do szklanki, na przykład, pieprzu (!) lub cukru (już lepiej) szybkość powstawania bąbelków znacznie wzrasta. Na początku pęcherzyki rosną przyklejone do ścianek, dopiero gdy działająca na nie siła wyporu stanie się większa niż siła napięcia powierzchniowego utrzymująca je przy ściance, odrywają się i wędrują do góry. Wyobraźcie sobie, że problem bąbelków w piwie jest traktowany na tyle poważnie, że dwóch chemików ze Stanford University, Neil Shafer i Richard Zare, przeprowadziło doświadczenia, w których zmierzyli szybkość powiększania się pęcherzyków w miarę wznoszenia i zależność ich położenia od czasu. Spróbujmy zbudować model opisujący wzrost bąbelków, a nieco później zastanowimy się nad ich ruchem ku powierzchni. Dzięki wspomnianym chemikom będziemy w stanie porównać przewidywania modelu z danymi doświadczalnymi.

Dlaczego pęcherzyki rosną?

Naiwnie narzucająca się odpowiedź brzmi: w miarę oddalania się od dna szklanki maleje ciśnienie hydrostatyczne (piwostatyczne), bąbelki są słabiej ściskane i dzięki temu rośnie ich objętość. Po chwili zastanowienia zauważymy jednak, że jest to wyjaśnienie błędne. Na powierzchni piwa panuje ciśnienie atmosferyczne 1 atm. Jak łatwo zauważyć gołym okiem, pęcherzyki wędrujące od dna do powierzchni zwiększają swoje rozmiary mniej więcej 2-krotnie (objętość rośnie -krotnie). Z równania gazu doskonałego wiemy, że zatem 8-krotne zwiększenie objętości nastąpiłoby pod wpływem tyleżkrotnego zmniejszenia ciśnienia. Ponieważ na powierzchni ciśnienie jest równe 1 atm, zatem na dnie szklanki musielibyśmy mieć aż 8 atm! Naturalnie jest to możliwe, ale taki kufel musiałby mieć około 80 m wysokości (piękny widok!). Musimy zatem takie rozwiązanie odrzucić.

Jak wiemy, bąbelki to dwutlenek węgla rozpuszczony w piwie, który po otwarciu butelki uwalnia się w postaci gazu. To właśnie kosztem nadmiaru (w warunkach zmniejszonego ciśnienia po otwarciu butelki) w piwie następuje przyrost objętości pęcherzyków, stanowią one „centra parowania”: całą swoją powierzchnią pochłaniają dwutlenek węgla rozpuszczony w piwie. W oparciu o to spostrzeżenie zbudujemy prosty model bąbelka oparty na następujących założeniach:

1.

bąbelki są kuliste,

2.

ciśnienie hydrostatyczne jest stałe (poprzednie rozważania pozwalają przyjąć to założenie, przynajmniej przy opisie doświadczeń wykonanych przy użyciu szklanek o normalnych rozmiarach),

3.

szybkość pochłaniania jest wprost proporcjonalna do powierzchni pęcherzyka:

(1)

gdzie jest liczbą cząsteczek w pęcherzyku,  jego promieniem, a stałym współczynnikiem proporcjonalności,

4.

dodatkowo zakładamy, że ciśnienie spowodowane istnieniem napięcia powierzchniowego można pominąć,

5.

temperatura w szklance jest stała.

Zakładając w dodatku, że w pęcherzyku spełnia równanie gazu doskonałego: gdzie to ciśnienie, objętość, temperatura i liczba cząsteczek a  – stała Boltzmanna, dostajemy

(2)

Korzystając z założenia 3. otrzymujemy proste równanie

(3)

skąd

(4)

dla Uwzględnienie napięcia powierzchniowego prowadziłoby do pojawienia się w ostatnim równaniu dodatkowego wyrazu proporcjonalnego do

Rys. 1 Promień unoszącego się bąbelka w zależności od czasu. Ramiona diamencików ilustrują wielkość błędów doświadczalnych (odchylenie standardowe) popełnianych przy pomiarze rozmiarów bąbelków i czasu. Ciągła linia opisuje najlepsze dopasowanie przewidywań modelu (równanie (4)) do danych doświadczalnych (promień początkowy  cm, prędkość  cmś). Możemy powiedzieć, że nasz prosty model bardzo dobrze opisuje wyniki doświadczalne.

Chemicy, o których wspominałem, przeprowadzili pomiary zależności promienia pęcherzyka od czasu. Okazało się, że przedstawiony powyżej model świetnie opisuje dane doświadczalne przedstawione na rysunku 1.

Ruch bąbelków

Teraz spróbujemy odpowiedzieć na pytanie, jak zmienia się w czasie położenie pęcherzyka w szklance z piwem. Najpierw znajdziemy siły działające na pęcherzyk. Pierwsza z nich to siła wyporu pomniejszona o ciężar pęcherzyka, równa, zgodnie z prawem Archimedesa:

(5)

gdzie to gęstość piwa i gęstość w pęcherzyku, a  jest przyspieszeniem ziemskim. Pominięcie po prawej stronie powyższego wzoru jest uzasadnione. Załóżmy teraz dodatkowo, że prędkość ruchu pęcherzyków jest na tyle mała, że podczas ruchu zachowują one kształt sferyczny. Przy dużych prędkościach założenie to przestaje być słuszne, a z kul robią się poziomo spłaszczone dyski. Naturalnie, jak to w fizyce bywa, nie będziemy rozważać tego trudnego, realistycznego przypadku, lecz ograniczymy się do rozpatrzenia sytuacji, gdy bąbelki zachowują kształt sferyczny.

Podczas ruchu pęcherzyka, oprócz siły wyporu i ciężkości, działa na niego również siła oporu, a jej prawidłowy opis to najtrudniejszy punkt naszych rozważań. Zauważmy najpierw, że bąbelki poruszają się coraz szybciej; widocznie siła oporu rośnie wolniej niż siła wyporu Do opisu siły oporu posłużymy się tzw. prawem Stokesa, które mówi, że siła oporu działająca na sztywną kulę poruszającą się w nieskończonym, lepkim ośrodku wynosi

(6)

gdzie to współczynnik lepkości, – promień kulki, a – jej prędkość.

Zakładając, że opisuje siłę oporu działającą na pęcherzyk, jesteśmy teraz w stanie napisać równanie

(7)

gdzie oznacza pionową współrzędną bąbelka, natomiast dane jest wzorem

(8)

Zauważmy, że dla  jest masą piwa (!) zawartą w kuli o rozmiarach pęcherzyka. W zasadzie, zamiast powinniśmy wstawić tam masę pęcherzyka musimy jednak pamiętać, że obiekt poruszający się w lepkim ośrodku „ciągnie” za sobą „przylepioną” do siebie ciecz. W porównaniu z nią rzeczywistą masę w bąbelku można pominąć. Właśnie dlatego w równaniu ruchu (7) pominęliśmy masę a wprowadziliśmy sparametryzowaną wzorem (8) tę dodatkową, „przylepioną” masę piwa.

Współczynnik wprowadziliśmy po to, by sprawdzić, jak silnie ruch pęcherzyka zależy od wielkości „przylepionej” masy. Znalezione przez nas równanie daje się przepisać w wygodniejszej postaci:

(9)

gdzie Standardowe metody rozwiązywania równań różniczkowych (zamiana zmiennych i uzmiennianie stałej) prowadzą do następującego wyrażenia

(10)

gdzie a

Rys. 2 Położenie bąbelków w zależności od czasu: diamenciki – dane doświadczalne,linia ciągła – przewidywanie modelu.

Kolejne całkowanie doprowadza nas do wyrażenia na położenie w zależności od czasu

(11)

Wyrażenie to można łatwo scałkować na kalkulatorze czy komputerze. Jednak zamiast pracowitego całkowania można również pomyśleć i zauważyć, że o ile nie jest za duże (okazuje się, że to znaczy nie większe niż ), to w równaniu ruchu można pominąć wyraz w porównaniu z pozostałymi, a wtedy równanie daje się łatwo rozwiązać:

(12)

Numeryczne całkowanie równań może nas upewnić, że o ile to powyższe równanie bardzo dobrze przybliża dokładne rozwiązanie równania ruchu.

Wprawdzie udało nam się rozwiązać równanie ruchu, ale nie nasz wyjściowy problem. Jak widzimy bowiem z rysunku 2, tym razem nasza „teoria” (linia ciągła) nie opisuje prawidłowo danych doświadczalnych. W rzeczywistości pęcherzyk porusza się znacznie wolniej, niż to przewiduje nasze rozwiązanie; siła oporu musi być zatem większa od danej przez prawo Stokesa. Zanim zostawię Cię, Drogi Czytelniku, z tym fundamentalnym problemem, przypomnijmy sobie, jakie założenia są robione przy wyprowadzeniu prawa Stokesa i zastanówmy się, czy przystają one do naszej bąbelkowej rzeczywistości:

• kulka jest sztywna – tymczasem nasz pęcherzyk rośnie, więc sztywny nie jest,
• prędkość (jej styczna i prostopadła składowa) na powierzchni kulki znika (ciecz nie wnika do wnętrza kulki, a z powodu lepkości nie płynie również po jej powierzchni) – w naszym przypadku składowa styczna prędkości piwa na powierzchni pęcherzyka mogłaby być różna od zera,
• ciecz jest nieskończona – tymczasem nasze piwo zawiera się w szklance.

Teraz już, Drogi Czytelniku, po uświadomieniu sobie naszych słabości zostawiam Cię, życząc wielu udanych eksperymentów i znalezienia prawidłowego modelu opisującego ruch bąbelków w piwie.