Delta mi!

608. Ilość wydzielonego ciepła będzie największa, gdy klocek przebędzie maksymalną drogę względem taśmy transportera. Klocek musi dotrzeć do końca transportera z zerową prędkością względem Ziemi. Jego prędkość początkową otrzymujemy z zależności

gdzie jest masą klocka. Stąd Po zatrzymaniu klocek zaczyna poruszać się z przyspieszeniem w kierunku ruchu taśmy. Prędkość taśmy osiągnie po czasie gdy przebędzie względem Ziemi drogę

Ponieważ spełniony jest warunek klocek osiągnie prędkość względem Ziemi, czyli zatrzyma się względem taśmy, zanim spadnie z transportera. Energia kinetyczna klocka w układzie związanym z taśmą transportera od chwili startu do chwili zatrzymania maleje o wielkość i tyle wynosi maksymalne ciepło wydzielone w układzie:

Energia potrzebna do podgrzania szklanki wody o to:

Energia uzyskana z jednej baterii:

Stosunek czyli potrzebujemy 39 baterii, których koszt to około Koszt podgrzania energią z sieci:

Stosunek tych kosztów to około 6000

Stan równowagi nastąpi, gdy zrównają się strumienie wodoru dyfundującego między częściami naczynia. Strumień dyfuzji jest proporcjonalny do średniej liczby zderzeń cząsteczek wodoru z przegrodą, która z kolei jest proporcjonalna do liczby cząsteczek w jednostce objętości oraz średniej prędkości ruchu cieplnego cząsteczek. W danej temperaturze zachodzi związek Oznaczmy przez liczbę moli wodoru, które przeniknęły przez przegrodę. Warunek równowagi ma postać:

stąd

Ciśnienie w części zawierającej mieszaninę argonu i wodoru wynosi

w drugiej części

Niech ciśnienie zewnętrzne wynosi Oznaczmy objętości i temperatury gazu w kolejnych stanach równowagi przez oraz Zmiana energii wewnętrznej podczas ściskania gazu wynosi

a po oswobodzeniu tłoka

gdzie molowe ciepło właściwe przy stałej objętości Całkowita zmiana energii wewnętrznej

Z równania Clapeyrona

Szukana temperatura końcowa wynosi

Energia wiązania sześcianu o boku o długości zawierającym cząsteczek wynosi bo każda cząsteczka ma 6 najbliższych sąsiadów i z każdym dzieli jedno wiązanie. Do oddzielenia dwóch sąsiednich warstw cząsteczek potrzebna jest energia ale po rozdzieleniu powstają dwie kwadratowe powierzchnie swobodne cieczy o boku o długości każda. Mamy więc oraz Stąd już łatwo wyznaczamy:

Po podstawieniu danych liczbowych otrzymujemy cząsteczek w Dokładna wartość to 1/18 liczby Avogadro, czyli cząsteczek w a więc otrzymaliśmy niezły wynik.

Najsłabszym ogniwem naszego rozumowania jest założenie o charakterze wiązań (więcej w artykule K. Rejmera "Wiązania wodorowe" w Delcie 5/2014). Lepsze oszacowanie otrzymujemy dla substancji tworzącej kryształy o wiązaniach kowalencyjnych, jak np. krzem (Si) o - dla powierzchni (w - oraz dla którego otrzymujemy wartość atomów w wobec dokładnej wartości - tu rozbieżność wynika z nieco bardziej skomplikowanej postaci sieci krystalicznej niż przyjęta w naszych obliczeniach.

Oznaczmy przez ciepło pobrane na izotermie 1-2, a przez wartość bezwzględną ciepła oddanego na izotermie 3-4. Na wykresie są one równe polu pod odpowiednią izotermą, bo w przemianie izotermicznej energia wewnętrzna nie zmienia się. Zatem praca uzyskana w cyklu 1-2-3-4-1 wynosi Sprawność tego cyklu

gdzie jest ciepłem pobranym na izochorze 4-1. Jest ono równe wartości bezwzględnej ciepła oddanego na izochorze 2-3, bo obie izochory łączą na wykresie punkty o tych samych temperaturach. Sprawność cyklu 1-2-3-1 dana jest wzorem

Sprawność cyklu 1-3-4-1 to

Ostatecznie szukana sprawność cyklu wynosi

W warunkach zadania masa wody parująca w bardzo krótkim czasie jest proporcjonalna do pola powierzchni wody czyli gdzie jest współczynnikiem proporcjonalności. Zmiana poziomu wody w akwarium wiąże się ze zmianą jej masy zależnością gdzie - gęstość wody. Stąd Tak więc w stałych warunkach parowania zmiana poziomu wody jest proporcjonalna do czasu. Jeżeli więc przez dwie doby poziom wody obniżył się o 1 centymetr, to cała woda, przy głębokości akwarium równej 15 , wyparuje po 30 dobach.

Świecenie neonówki nastąpi, gdy przyłożone napięcie wystarczy do rozpędzania (pomiędzy zderzeniami) znajdujących się w niej elektronów do energii równej energii jonizacji atomów. Pomiędzy zderzeniami elektron uzyskuje energię  :

gdzie  oznacza drogę swobodną elektronu (patrz zadanie 855),  ładunek elektronu, a   jest równe natężeniu pola elektrycznego pomiędzy elektrodami. Oznacza to, że droga swobodna elektronu powinna wynosić:

czyli około 650   m. Droga swobodna jest odwrotnie proporcjonalna do ciśnienia gazu, a więc w neonówce powinno panować ciśnienie

W wyniku zderzeń powstaną także jony neonu – ich drogi swobodne są jednak kilka razy mniejsze niż elektronów, a więc nie będą między zderzeniami uzyskiwały energii wystarczających do zderzeniowego jonizowania dalszych atomów.

Ponieważ masa elektronu jest około 40 tysięcy razy mniejsza od masy atomu neonu, to w warunkach równowagi termodynamicznej porusza się on około 200 razy szybciej niż atomy neonu, które wobec tego można w przybliżeniu uznać za nieruchome. Elektron „trafi” w atom, jeśli ten znajdzie się w odległości nie większej niż   od toru ruchu elektronu. średnio nastąpi to, gdy w objętości   będzie znajdował się jeden atom. Oznacza to warunek

gdzie  jest liczbą atomów, a   objętością naczynia. Dla gazu w warunkach normalnych mamy

gdzie  jest stałą Boltzmanna. Ostatecznie:

czyli   m.

Świeczka gaśnie po wyczerpaniu tlenu z powietrza zawartego pod odwrócona szklanką. Spalanie węglowodorów prowadzi do powstawania cząsteczek  i CO. Z każdej cząsteczki tlenu powstają więc jedna lub dwie cząsteczki produktów spalania, a więc w wyniku spalania tlenu wzrasta liczba cząsteczek gazu. Dodatkowo wydzielone ciepło spalania ogrzewa gaz. Oba zjawiska prowadzą do „ucieczki” części gazu spod szklanki. Gdy świeczka zgaśnie, ilość gazu już się nie zmienia, a jego stygnięcie (do temperatury otoczenia ) powoduje spadek ciśnienia, co dalej prowadzi do zasysania wody z talerza. Ponieważ wysokość słupa wody  odpowiada różnicy ciśnień równej jedynie około  ciśnienia atmosferycznego, to z dobrym przybliżeniem można przyjąć, że gaz w chwili zgaśnięcia świeczki i po ostygnięciu do temperatury otoczenia znajdował się pod ciśnieniem atmosferycznym. Masa gazu podczas stygnięcia nie zmienia się, a więc stosunek temperatur równy jest stosunkowi objętości – dla szklanki w kształcie walca równego stosunkowi wysokości części wypełnionych gazem

Otrzymujemy zatem

W wyniku spalania węgla w reakcji nie zmieni się liczba moli gazu w pomieszczeniu, zostanie on jednak ogrzany do wysokiej temperatury. Dla cząsteczek liniowych, takich jak  ciepło właściwe w stałej objętości wynosi  gdzie  jest stałą gazową. Energia wewnętrzna  moli gazu jest zatem równa  Bilans energii można zatem zapisać jako:

gdzie  jest temperaturą końcową. Stąd  Zaniedbaliśmy tu fakt, że w wysokich temperaturach poza stopniami swobody ruchu postępowego i rotacyjnego cząsteczek gazu wzbudzane są także ich oscylacje, co prowadzi do zwiększenia liczby stopni swobody: z 5 do 6 dla cząsteczek  i z 5 do 9 dla cząsteczek  Uwzględnienie tego faktu w bilansie energii zmniejszy oszacowanie  o około  Wysokość warstwy pyłu to (  jest powierzchnią podłogi):

skąd otrzymujemy  czyli około

Siły rozszerzalności cieplnej są bardzo duże i wymuszają przesuwanie się fragmentów blachy względem dachu. Gdy blacha ogrzewa się, jej punkt nieruchomy znajduje się powyżej środka masy. Oznaczmy jego odległość od środka masy przez  Siła tarcia działająca na wydłużającą się blachę poniżej punktu nieruchomego działa w górę równi i wynosi

a powyżej tego punktu  działa w dół równi. Warunek równowagi statycznej dla punktu nieruchomego ma postać:

stąd  Wydłużenie blachy podczas ogrzewania wynosi  a jej środek przesuwa się w dół o

Gdy blacha stygnie, jej punkt nieruchomy znajduje się poniżej środka masy, również w odległości  Środek blachy ponownie przesuwa się w dół na taką samą odległość jak podczas ogrzewania. W ciągu doby blacha spełza w dół na odległość

W gazie spełniającym równanie stanu gazu doskonałego, ( – ciśnienie, – objętość, – całkowita liczba moli gazu), dźwięk rozchodzi się z prędkością daną równaniem

gdzie i oznaczają ciepła molowe, odpowiednio w stałej objętości i pod stałym ciśnieniem, a masę jednego mola tego gazu. Mieszanina gazów doskonałych spełnia równanie gazu doskonałego, masa i ciepło są tzw. wielkościami ekstensywnymi, a więc odpowiednie wielkości dla mieszaniny to

Ostatecznie więc wynosi

Wzór ten bywa w praktyce wykorzystywany do określania zawartości domieszki gazowej. Jest to możliwe, gdy gaz-domieszka ma istotnie różne właściwości od gazu, z którym jest zmieszany (np. w azocie).

Ciśnienie w przemianie  zmienia się liniowo zgodnie ze wzorem  Oznaczając przez  temperaturę w punktach  i   otrzymujemy, korzystając z równania Clapeyrona  gdzie  oznacza liczbę moli gazu, a   jest stałą gazową. Rozważmy badaną przemianę w małym przedziale objętości  Zgodnie z pierwszą zasadą termodynamiki ciepło tam przekazane wynosi  Zmiana energii wewnętrznej dana jest wzorem  gdzie molowe ciepło właściwe  przy stałej objętości dla gazu jednoatomowego wynosi  Zmiana temperatury w badanym przedziale wynosi  gdzie pominęliśmy wyraz proporcjonalny do  Gaz pobiera ciepło, gdy  czyli gdy  Zatem ciepło w przemianie  pobierane jest na odcinku  gdzie objętość, odpowiadająca punktowi  wynosi

Rozważmy proces do chwili, gdy para wodna osiągnie stan nasycenia. Traktując oba gazy jako doskonałe, możemy dla każdego z nich napisać prawo przemiany izotermicznej:  gdzie  jest przesunięciem tłoka lewego, zatem  Ciśnienie  nie przekracza ciśnienia pary nasyconej:  stąd

Gdy  para wodna w lewej komorze zaczyna się skraplać, ciśnienie ma stałą wartość  a objętości gazów w obu częściach są takie same (zaniedbujemy objętość wody powstałej w wyniku skroplenia w porównaniu z objętością pary nasyconej o tej samej masie). Oznaczając dodatkowe przesunięcia obu tłoków przez  możemy napisać:  stąd  Ostatecznie:  dla  dla  dla

Oznaczmy przez maksymalne wydłużenie sznura. Stwierdzenie, że pierścień jest żelazny, wskazuje, że masę sznura możemy zaniedbać w porównaniu z masą pierścienia. Wtedy mamy  Na sznur działa siła tarcia, która powoduje jego wydłużenie, czyli wzrost energii sprężystości oraz wydzielanie się ciepła :  Wiedząc, że  otrzymujemy:

Zadanie można też rozwiązać, rozważając siły działające na pierścień. Zmiana energii kinetycznej pierścienia równa jest pracy wypadkowej sił ciężkości i tarcia:  natomiast zasada zachowania energii dla całego układu sznur–pierścień ma postać:  Odejmując te równania stronami, otrzymujemy taki sam wynik jak poprzednio.

Po zwiększeniu masy pierwszego cylindra równowaga nastąpi dopiero, gdy znajdzie się on na dnie naczynia, a cały gaz przejdzie do drugiego cylindra. Ponieważ ciśnienie gazu oraz jego temperatura nie zmieniają się, więc także objętość pozostanie stała. Zatem  gdzie  i  to przekroje wewnętrzne cylindrów, a  to wysokość, na którą wzniesie się drugi tłok. Początkowo ciśnienie gazu w obu naczyniach było jednakowe, tzn.  stąd   Zatem

Praca jest równa polu powierzchni zawartej wewnątrz diagramu  a więc:

Objętości gazu to

a ciśnienie

Zatem:

ale  więc ostatecznie

Średnia energia ruchów termicznych  w temperaturze  K wynosi – w przeliczeniu na elektronowolty – około 300 eV, czyli znacznie więcej zarówno od energii dysocjacji cząsteczek wodoru, jak i energii jonizacji atomowego wodoru. Każda cząsteczka H  rozpadnie się więc po podgrzaniu na cztery cząstki – dwa jądra i dwa elektrony. Ciśnienie wzrośnie  razy i wyniesie 4 MPa.

Warunek równowagi bańki mydlanej to  gdzie  jest ciśnieniem wewnątrz bańki. Po zmniejszeniu promienia bańki o połowę ciśnienie wywierane przez zakrzywioną powierzchnię bańki zwiększy się do  Skoro temperatura układu jest stała, to ciśnienie powietrza wewnątrz bańki, odwrotnie proporcjonalne do jej objętości, wzrośnie 8 razy,  Z otrzymanych dwóch równań wyznaczamy

Naczynie jest izolowane cieplnie, zatem a stąd

Zgodnie z warunkami zadania czyli co ostatecznie daje:

Temperatura pary jest proporcjonalna do średniego kwadratu prędkości atomów:

Ruch cząstek w kierunku pionowym odbywa się w polu siły ciężkości. Zatem z jednej strony czas ruchu cząstki to  z drugiej jest to czas spadku swobodnego równy  Stąd

co ostatecznie daje:

Oznaczmy symbolami  i  początkową liczbę moli powietrza w naczyniu oraz liczbę moli w chwili osiągnięcia temperatury  Z równania adiabaty w zmiennych  –

gdzie  po przekształceniach znajdujemy

Wyznaczymy teraz pracę pompy próżniowej przy odpompowaniu niewielkiej ilości powietrza  przy założeniu, że ciśnienie w naczyniu pozostaje w przybliżeniu stałe i równe  Jeśli objętość cylindra pompy jest równa  (zgodnie z podanym założeniem  jest znacznie mniejsze od objętości naczynia), to wejdzie do niego moli powietrza, a praca przeciw sile parcia z zewnątrz wyniesie  Sprężanie powietrza w cylindrze zachodzi izotermicznie, zatem praca

gdzie dolna granica całki odpowiada zerowaniu się wyrażenia podcałkowego. Praca całkowita jest różnicą  i okazuje się równa

Podczas odpompowania adiabatycznego ciśnienie  zależy od liczby moli  pozostałej w naczyniu wg równania  i w wyniku całkowania otrzymujemy

Dla odpompowania izotermicznego zależność  ma postać  i całkowanie daje wynik

Pozostaje obliczenie ciepła pobranego podczas odpompowania izotermicznego. W „zwykłej” przemianie izotermicznej (tzn. gdy    jest zmienną) ciepło to jest równe

Tutaj zamiast zmiany objętości należy wprowadzić zmianę liczby moli  która jest równoważna  o ile   Dlatego  a jeśli stanem końcowym jest próżnia, to  Szukany iloraz

dla danych    i  przyjmuje wartość 1,48, co można porównać z

dla cyklu Carnota. Głównym powodem tej dużej rozbieżności jest nieodwracalność wpuszczenia powietrza atmosferycznego do opróżnionego naczynia – gdyby wykorzystać pracę ciśnienia atmosferycznego w tej fazie (odjąć ją od ), to wartość  zmalałaby do 0,109.

Ciśnienie wewnątrz bańki  jest równe sumie ciśnienia zewnętrznego  i ciśnienia samej błonki  Ciśnienie błonki jest odwrotnie proporcjonalne do jej promienia, czyli do pierwiastka trzeciego stopnia z objętości powietrza wewnątrz bańki  Dla małych przyrostów mamy więc

Równanie przemiany adiabatycznej gazu w zmiennych  w wersji różniczkowej ma postać

gdzie  Stąd

Zapiszmy jeszcze przemianę adiabatyczną wewnątrz i zewnątrz bańki w zmiennych  :

Jeśli początkowo temperatury były jednakowe, to podstawiając zmiany ciśnienia do wzoru  dochodzimy do wyniku

z którego widać, że wewnątrz bańki wzrost temperatury był większy.