Delta mi!

Przemieszczenie nurka o mały odcinek  w górę powoduje spadek siły wyporu o wielkość  wynikającą ze spadku gęstości wody

gdzie  jest objętością powietrza w nurku,  – objętością szkła, a   Z drugiej strony, nastąpi wtedy wzrost siły wyporu o wielkość

gdzie  a  jest wzrostem objętości, będącym skutkiem spadku ciśnienia i rozprężenia powietrza w nurku. Warunkiem równowagi trwałej jest

Wyznaczamy  na podstawie prawa przemiany izotermicznej, gdyż powietrza w nurku jest niewiele i kontakt ze ściankami zapewnia stałość temperatury. Zatem  albo

gdzie  a  jest ciśnieniem w położeniu równowagi nurka, czyli sumą ciśnienia atmosferycznego i ciśnienia górnej połowy słupa wody. Średnia gęstość wody w górnej połowie wynosi  zatem

W ostatnim kroku zauważamy, że z warunku równowagi, przy pominięciu masy powietrza w nurku, wynika równanie

Po przekształceniach dochodzimy do warunku równowagi trwałej w postaci

Dla podanych wartości liczbowych warunek ten jest spełniony z dużym naddatkiem (lewa strona jest prawie 5-krotnie większa od prawej).

Ciśnienia z obu stron są takie same, tzn.  , czyli

Tutaj , ponieważ błonka ma dwie powierzchnie: zewnętrzną i wewnętrzną. Zatem

Możemy założyć, że kropla rozpłynęła się symetrycznie i widziana z góry ma kształt koła o promieniu  . Powierzchnia tego koła wynosi . Siła przyciągania między płytkami równa jest , gdzie jest ciśnieniem wywieranym przez zakrzywioną powierzchnię cieczy. Ostatecznie

Rozwiązanie nie zależy od kształtu naczynia – środek ciężkości leży najniżej, gdy naczynie napełnimy tak, by znalazł się on na powierzchni wody.

Jeśli bowiem poziom wody w naczyniu leży poniżej środka ciężkości, to dolanie do naczynia niewielkiej ilości wody spowoduje obniżenie środka ciężkości, gdyż środek ciężkości dodawanej wody leży poniżej środka ciężkości naczynia z wodą przed dolaniem.

Jeśli natomiast poziom wody w naczyniu leży powyżej środka ciężkości, to odlanie z naczynia niewielkiej ilości wody spowoduje również obniżenie środka ciężkości, gdyż środek ciężkości ujmowanej wody leży powyżej środka ciężkości naczynia z wodą przed jej ujęciem.

Oznaczmy przez masę wody wypieranej przez klocek. Gdy jest on zanurzony pionowo, środek ciężkości zanurzonej części jest na głębokości gdy poziomo, na głębokości A więc położenie środka ciężkości klocka po przewróceniu podniesie się o i o tyle obniży się środek ciężkości wypartej wody. Zatem energia potencjalna wody w naczyniu spadnie, a energia potencjalna całego klocka nie zmieni się. Wydzielone ciepło będzie więc równe

Po przelaniu przez górne kolanko 1-2 woda zamyka dolne kolanko 2-3 i odcina w segmencie 2 rurki słup powietrza o początkowej długości (pomijamy objętość samego kolanka); później sytuacja się powtarza w segmencie 4. Wzrost poziomu wody w segmentach 3 i 5 powoduje sprężenie tych słupów powietrza – oznaczmy długości słupów po sprężeniu jako i Zatem ciśnienie powietrza w segmencie 4 jest równe (gdzie – ciśnienie atmosferyczne), a w segmencie 2 równe Zgodnie z równaniem przemiany izotermicznej

Obliczamy

podobnie .

Wysokość słupa w lewym segmencie powinna być równa co najmniej  cm (177 cm powyżej górnych kolanek).

Praktycznym przykładem opisanego tu problemu może być lanie wody wężem częściowo zwiniętym na bębnie. Na poziomie jakościowym było to tematem jednego z zadań Olimpiady Fizycznej w 1982/83 r.

Rozważmy przeciętą pionowo połówkę walca w naczyniu, do którego nalano z obu stron jednakowej cieczy (rysunek obok). Łatwo wykazać, że siły działające wzdłuż osi poziomej na taką połówkę się równoważą (inaczej wypadkową można by zaprząc do napędu perpetuum mobile). Dlatego poziomą składową siły wywieranej na walec od lewej strony można obliczyć tak, jakby działała na ściankę pionową. Ponieważ ciśnienie zmienia się proporcjonalnie do głębokości, więc powierzchnię ścianki pomnożymy przez ciśnienie w połowie głębokości, równe

gdzie – promień walca, – jego wysokość (tu długość), – gęstość cieczy z lewej strony. Podobny argument zastosowany do ćwiartki walca pozwala obliczyć poziomą składową siły wywieranej na walec od prawej strony

Widzimy, że walec nie będzie się toczył w żadną stronę, jeśli

Aby obliczyć składową pionową siły działającej z lewej strony, rozważmy walec zanurzony obustronnie w jednakowej cieczy. Siła wyporu równa jest ciężarowi wypartej cieczy, a z drugiej strony jest ona równa (z symetrii). Stąd

Do wyznaczenia należy analogicznie rozpatrzyć siłę wyporu działającą na dolną połówkę walca. Wynikiem jest

Skoro nacisk walca na dno naczynia jest równy połowie jego ciężaru to

Zatem

Załóżmy, że przynajmniej dolna część butelki ma kształt walcowy, a szukaną głębokość zanurzenia oznaczmy przez  W położeniu równowagi masa butelki  równa jest masie wypartej wody  gdzie  – pole przekroju poprzecznego butelki,  – gęstość wody. Jeśli zanurzenie zwiększy się o  to siła wyporu wzrośnie o  zatem mamy do czynienia z ruchem harmonicznym o okresie  gdzie  – stała proporcjonalności siły do wychylenia, tzn.   Po przekształceniach można wyznaczyć  tą drogą Fizyk otrzymał wynik

Podane wyprowadzenie wzoru pomija jednak fakt, że razem z butelką drga także pewna ilość wody otaczającej butelkę, której masę (tzw. masa związana) należy dodać do  we wzorze na  W efekcie wyliczona wartość  będzie zawyżona – w przeprowadzonym doświadczeniu autor otrzymał zanurzenie o około 25% mniejsze, co w opisanej sytuacji odpowiadałoby wartości A jednak wygrał Humanista...

Zastosujemy metodę analizy wymiarowej. Ruch cieczy jest jednostajny, dlatego jej gęstość nie ma znaczenia i jedynymi parametrami, od których zależy przepływ  (wyrażony w m /s), są: średnica rurki  jej długość  różnica ciśnień  i lepkość  której jednostką w układzie SI jest  Parametry  i  muszą wystąpić w postaci ilorazu  o wymiarze  który jest „czynnikiem napędowym” przepływu. Zatem  

Zgodność wymiarów w zależności

wystąpi tylko wtedy, gdy pierwszy argument wystąpi w potędze 4, drugi – w potędze 1, a trzeci – w potędze  (zależność ta jest znana jako wzór Hagena–Poiseuille’a). Po dwukrotnym powiększeniu średnicy rurki przepływ wzrośnie 16-krotnie.